Appli différentiable, dérivée non continue

Bonjour à tous,
j'ai un exemple dans mon cours, que je ne comprends pas.

L'application $f:R \to R,\ x \mapsto x^2 \sin(1/x)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$ est différentiable en 0 mais $f'$ n'est pas continue en $0$.

Vu que $f$ est réelle, la différentiabilité en un point $a$ équivaut à la dérivabilité en $a$ et $f'(a)h=df(a)(h)$
J'ai pour tout $x \neq 0$, $\ f'(x)=2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.

Je ne sais pas comment montrer que $f$ est différentiable en 0.
Pour la non continuité de $f'$ en 0, je pensais utiliser une suite $u_n$ qui tend vers 0 et telle que $f'(u_n)$ ne tende pas vers $f(0)=0$, mais je n'arrive pas à trouver une suite qui fonctionne.

Merci d'avance,
bon week-end.