Notation forme différentielle

On peut savoir que $df$ prend un point en argument et renvoie une forme linéaire. L'évaluation $df(a)=\sum\frac{\partial f}{\partial x_k}(a)\,dx_k$ devient la seule raisonnable.

Dans le sens de Cyrano, les notations en géométrie différentielle ont pris des dizaines d'années avant de se stabiliser, comme en témoigne La Formule de Stokes, roman de Michèle Audin. Je ne suis pas sûr qu'il soit très pertinent de vouloir les améliorer pour éviter des abus ou ambiguïtés assumées par les utilisateurs. M'enfin, ça n'empêche pas de te poser la question, même si en définitive tu ne trouves rien de convaincant.

La forme linéaire coordonnées $x_k$, qui donc à $(x_1,...,x_n)$ associe $x_k$ est une fonction, lisse, elle a une différentielle qui est $dx_k$. La fonction $x_k$ étant linéaire sa differentielle est constante et $dx_k$ est la $1$-forme constante qui, en n'importe quel point $x$ de $U$, à $(v_1,...,v_n)$ associe $v_k$ via l'identification de $TU=U\times \mathbb{R}^n$ (où $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n)$.
Confondre $dx_k$ et $dx_k(x)$ n'est pas un abus plus grand que confondre fonction constante valant $\alpha$ et le réel $\alpha$.
On a bien $df=\sum \partial_{x_i}fdx_i$ et $df(a)=\sum \partial_{x_i}f(a)dx_i$

Dit de manière plus géométrique, si $U$ est un ouvert d'une variété lisse et $\phi$ un isomorphisme (une diffeomorphisme lisse) avec un ouvert de $\mathbb{R}^n$, alors $d\phi$ est une trivialisation de $TU^*$ dans lesquels les formes $d\phi_i=d(x_i\circ \phi)$ sont envoyés sur les $1$-formes coordonnées "constantes".
Si l'on note $x_i$ la fonction $\phi_i$, on a toujours $df=\sum \partial_{x_i}fdx_i$ et $df(a)=\sum \partial_{x_i}f(a)dx_i$; ici l'abus est un peu plus fort, le fait d'etre "constant" n'a de sens que dans la trivialisation et par exemple si l'on avait une connexion, $dx_i$ n'a pas de raison d'être "constant" (parallèle) pour la connexion (mais c'est aussi vrai si on prend $U$ ouvert de $\mathbb{R}^n$ et un connexion qui n'est pas la connexion standard bien sûr).

Sauf bêtise (il est tard), la linéarité n'est pas par rapport au point $a$, mais pour $a$ quelconque.

Bon, moi, j'ai déjà lu (enfin, je crois) "soit $dx_k$ la forme linéaire $k$-ème coordonnée".

Si tu décides de noter $x_k$ l'application $(u_1,\cdots,u_n) \mapsto u_k$, alors oui, tout le monde est d'accord (enfin je crois) sur le fait que $x_k$ est une forme linéaire, donc différentiable, et dont la différentielle est une constante qui vaut, en tout point, $x_k$.

On a donc $df = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k} dx_k$, et donc, pour tout $a$, $df(a) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k(a) = df(a) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) x_k$ et donc, pour tout $a$ et tout $u$, $df(a)(u) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) x_k(u) = \sum^n_{k=1} \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) u_k = Mat (df(a)) \cdot Mat (u)$ où on prend les matrices dans la base canonique (et où $Mat(u)$ désigne le vecteur colonne des coordonnées de $u$).

Tout va bien ?

A part ça, je n'aime pas trop noter $x_k$ l'application $k$-ème coordonnée, puisque j'utilise plutôt ça pour désigner la $k$-ème coordonnée d'un point $x$.

PS : Un vecteur don les coordonnées se la pètent, c'est un $Mat(u)(vu)$ !