Fonction discontinue

@Poirot, pourquoi? pouvez vous me donner un exemple? Je vous explique pourquoi j'ai posé cette question:

On a considéré dans le cours d'analyse une fonction bornée $f:[0,1]\to \mathbb{R}, x\mapsto -1\quad \text{si}\quad x\notin Q,\quad 1 \quad \text{si}\quad x\in Q$. Il est demandé de montrer qu'elle est discontinue en tout points de $[0,1]$.
On a montrer que cette fonction n'est pas Riemann intégrable. Or on sait que toute fonction bornée et continue par morceaux est Riemann intégrable. Comme $f$ n'est pas Riemann intégrable et elle est bornée alors elle n'est pas continue par morceaux et par suite j'ai voulu dire qu'elle est discontinue en tout points de $[0,1]$.