Suite trompeuse du calcul numérique

Bonjour Raoul

ton équation récurrente s'écrit $4u_{n+2} - 4u_{n+1} - u_n = 0$ dont le polynôme caractéristique est 4r² - 4r - 1 = 0
de racines $r_1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ et $r_2 = \frac{1- \sqrt{2}}{2}$
la première est positive supérieure à 1, la seconde est négative

le terme général s'écrit $u_n = A.(r_1)^n + B.(r_2)^n$
les constantes réelles A et B dépendent des conditions initiales $u_0$ et $u_1$
ici on constate que A = 0 et B = 1 et donc ta suite est géométrique de raison $q = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ comprise entre - 1 et 0
la convergence de la suite géométrique est implosive vers 0 comme tu l'écris

ce qui se passe avec python est qu'il calcule et raisonne dans le cas général
sans tenir compte des deux termes initiaux $u_0$ et $u_1$
il considère A et B constantes non nulles et dans ce cas la suite diverge vers + ou - oo
son comportement est mécanique et primaire, on doit se méfier des machines !

Cordialement

Bonjour,

Ces problèmes d'arrondis font partie de tout cours d'analyse numérique.
Le gestion des erreurs est même un domaine à part entière.
On peut demander aussi à Python la représentation graphique de $x\mapsto (x-1)^7$ sur l'intervalle $[1-\epsilon; 1+\epsilon]$ pour $\epsilon = 2\times 10^{-k}$ et $k\in\{0...4\}$:

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# Illustration des effets des erreurs d'arrondi
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy.polynomial.polynomial as poly

import matplotlib.patches as mpatches

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# Représentation graphique de f sur [1-2e-k;1+2e-k] pour k = 0 ... 4
# par les deux écritures (factorisée et développée)

n=200
kmin=0
kmax=5
Fonc7=poly.polypow(poly.polyfromroots([1]),7)
#print(np.poly1d(Fonc7))

for k in range(kmin,kmax):
    h=2*10**(-k)
    xmin, xmax, xpas = 1-h, 1+h, h/n

    x, xx = np.arange(xmin,xmax,xpas), np.linspace(xmin,xmax,5)
    xx, xs = np.round(xx,k), list(map(str,xx))
    y, z = (x-1)**7, poly.polyval(x,Fonc7)

    plt.figure(figsize=(20,10),dpi=130)

    plt.subplot(211)
    plt.plot(x,y)
    plt.xticks(xx,xs, rotation = 17)
    label = mpatches.Patch(color='blue', label='n='+str(k))
    lg=plt.legend(loc='upper left', fontsize='xx-large', shadow=True, fancybox = True, handles=[label])
    lg.get_frame().set_facecolor('cyan')
    lg.get_frame().set_edgecolor('orchid')
    lg.get_frame().set_linewidth(5.0)

    plt.title('Comparaison entre formes développée et factorisée de (x-1)^7', size = 15, color = 'gold', fontweight = 'bold')

    plt.subplot(212)
    plt.plot(x,z,'r')
    plt.xticks(xx,xs, rotation = 17)
plt.show()

Cordialement,

Rescassol

J'aime beaucoup l'exemple de la relation de récurrence sur la suite d'intégrales $\int_0^1 \frac{t^n}{10-t}dt$ (prise plus ou moins sous cette forme dans Demailly). L'utilisation du binôme est tout aussi catastrophique (tester les deux avec même $n=20$)

Si je pose $u_n=\frac{1000^n}{n!}$, un logiciel de calcul numérique va répondre à côté concernant la convergence et la divergence des séries de terme général $u_n$ et $1/u_n$.

Bonjour,

Voilà les images correspondant au code Python ci-dessus, avec $k=2$ et $k=3$.
(le $n$ du cartouche est en réalité $k$).

Cordialement,

Rescassol

Bonjour
Voici un exemple concernant les limites du calcul numérique par ordinateur.
Les exemples donnés ci-dessus concernent des effets instables où l'erreur initiale amplifie. L'exemple ci-dessous est d'une autre nature.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}$.
On sait que la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$ est $1/2.$
Mais avec un logiciel de calcul numérique (ici avec scilab) je trouve
$f(10^{-8}) =0.$ alors que scilab travaille en double précision.
De même demandez à Wolfram de représenter $f$ pour $x\in[0,10^{-5}] $ et voir le graphique ...

@HT, Je ne pense pas que Geogebra calcule $g(10^{-8}) $ pour le tracé.
Demande à Geogebra la valeur de $g(10^{-8}) $ et vois ce qu'il affiche...

Bonjour,

Un peu de lecture.

Cordialement,

Rescassol