Polynômes de Tchebychev
Réponses
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J'aurais du poursuivre mon calcul :
$\forall \theta \in \R \ f(\theta)=a_0+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \dfrac{ e^{i k \theta}+ e^{-i k \theta}}{2} + b_k \dfrac{ e^{i k \theta}- e^{-i k \theta}}{2i} $
Fixons $\theta \in \R$. Alors :
$e^{i n \theta} f(\theta)=a_0e^{i n \theta} +\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \dfrac{ e^{i (k+n) \theta}+ e^{i (n-k)k \theta}}{2} + b_k \dfrac{ -ie^{i (k+n) \theta}+i e^{i (n-k) \theta}}{2} $
Ainsi $e^{i n \theta} f(\theta)=a_0e^{i n \theta} + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{i (k+n) \theta} (a_k-ib_k) + e^{i (n-k) \theta} (a_k+ib_k) $
Il suffit de poser $\boxed{U(X)=a_0X^n+ \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^n X^{k+n} (a_k-ib_k) + X^{n-k} (a_k+ib_k)}$ ce qui permet de conclure. -
Mais qu'as-tu essayé de faire ? Parce qu'en écrivant $f$, et en faisant apparaître des exponentielles ça devrait aller (on parle de polynomes trigonométriques ici).
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La suite. J'ai réussi la question $13$ mais j'ai mis beaucoup trop de temps, 30 minutes :-(
Question $13$ :
Soit $k \in [|1,2n|]$. On a $1-e^{i \varphi_k}=-e^{i \varphi_k /2} (e^{-i \varphi_k}- -e^{i \varphi_k})$
En utilisant le fait que $e^{-i \varphi_k}- -e^{i \varphi_k}= -2i \sin (\varphi_k /2)$ on obtient immédiatement :
$\boxed{\dfrac{ 2 w_k}{(1-w_k)^2} = \dfrac{-1}{2 \sin(\varphi_k /2 )^2}}$
D'après I.2 avec $\lambda= e^{i \theta}$ et $P=U \in \mathcal C_{2n}[X]$ on a :
$e^{i \theta} U'(e^{i \theta})= - \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ U( e^{ i (\theta + \varphi_k)})}{2 \sin(\varphi_k /2 )^2}+ nU(e^{i \theta})$
Dans l'expression $f(\theta)=e^{-i n \theta} U(e^{i \theta})$ on dérive et on obtient $f'(\theta)=i e^{-i n \theta} (-n U(e^{i \theta}) + e^{i \theta} U'(e^{i \theta}))$
Ainsi, $f'(\theta)= i e^{-i n \theta} \left( - \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ U( e^{ i (\theta + \varphi_k)})}{2 \sin(\varphi_k /2 )^2} \right)$
$f'(\theta)= i e^{i n \varphi_k} \left( - \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{f (\theta + \varphi_k))}{2 \sin(\varphi_k /2 )^2} \right)$
Mais $e^{i n \varphi_k}=i (-1)^k$ ainsi :
$\boxed{f'(\theta)= \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ (-1)^kf (\theta + \varphi_k))}{2 \sin(\varphi_k /2 )^2}}$ -
du $k$ en dehors de ta somme... c'est quand même une étourderie difficile à pardonner quand on voit la technicité que requiert la question par ailleurs.
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Oui merci une petite étourderie.
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Je ne sais pas si c'est juste mais ça m'a l'air trop facile pour être vrai :-S
Question $14$ :
Soit $\theta \in \R$.
On a $|f'(\theta)|= \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{|f (\theta + \varphi_k))|}{2 \sin(\varphi_k /2 )^2}$
Donc $|f'(\theta)|= \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ -2 w_k |f (\theta + \varphi_k))|}{(1-w_k)^2}$
Soit $|f'(\theta)| \leq ||f||_{\infty} \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ -2 w_k }{(1-w_k)^2}$
Mais $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ -2 w_k }{(1-w_k)^2}= 2n^2$ d'après les questions précédentes.
Donc $|f'(\theta)| \leq ||f||_{\infty} \dfrac{1}{2n} (2n^2) $
Finalement $\boxed{ \forall \theta \in \R \ \ |f'(\theta)| \leq n ||f||_{\infty}}$ -
ben encore mal rédigé... Manque une somme, un k qui sort de nul part pas quantifié... quand je pense que tu critiques la rédaction d'un major d'agreg en disant "quand moi je rédige, c'est avec soin par respect pour ceux qui me lisent"...
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J'ai corrigé les erreurs.
Question $15$ :
Soit $P \in \C_n[X]$. Introduisons l'application $f : \theta \mapsto P( \cos \theta))$
D'après Q3, on a $f \in \delta_n$. On peut donc appliquer Q14.
On a $\forall \theta \in \R \ \ f'(\theta)= - \sin \theta P'( \cos \theta)$
D'après Q14, on a $| \sin \theta P'( \cos \theta) | \leq ||f||_{L_\infty(\R)}$
Posons $x=\cos \theta$. On a clairement $ \sin \theta =\sqrt{1-x^2}$ et $||f||_{L_\infty(\R)} = ||P||_{L_\infty([-11])}$
Donc $\boxed{ \forall x \in [-1,1] \ \ P'(x) \sqrt{1-x^2}| \leq n ||P||_{L_\infty([-11])}}$
Voici la fin de la partie $1$. -
Je bloque à la question $16$.
Soit $Q \in \mathcal C_{n-1} [X]$. Alors il existe des complexes $a_0, \cdots, a_{n-1}$ tels que $Q(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k$.
Donc $f( \theta)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k ( \cos \theta)^k \sin \theta$.
Après je ne vois pas. -
La première chose à tester serait de dériver, appliquer la formule (en $\theta$ bien choisi à gauche), conclure...
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remplacer $\cos(\theta)$ par son écriture exponentielle et tu développes. Bref tout est dit. Finalement passe à la question suivante.
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@Bd2017
Oui c'est $| \sin \theta|$.
Par contre je ne vois pas ta méthode avec l'exponentielle.
@Polka
On a $(\cos ^{k+1} (\theta))'= -(k+1) \sin \theta \cos^k (\theta)$ mais je ne vois pas quoi faire de ça.
Ca me donne $f(\theta)=- \dfrac{1}{k+1} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k (\cos ^{k+1} (\theta))' $ :-S -
pfffff
Q14 : $|f'(\theta)|\leq n||f||_{\infty}$
Q16 : Montrer "blabla"
Indication : on pourra considérer $f(\theta)=Q(\cos(\theta))\sin(\theta)$.
Oshine : je ne sais pas quoi faire :-S
Ben là forcément, sans être un crack, les 3/4 des candidats qui savent LIRE, faire le lien entre les questions, remarquer que les notations coïncident etc... vont te passer devant. Inutile de te dire qu'à l'agreg, ces petites indications pour démontrer ces corollaires successifs n'existent pas, à toi de te débrouiller pour bricoler et en déduire les résultats sans aide. -
Je n'arrive pas à démontrer que $f \in \delta_n$.
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Tu l'as déjà fait mais dans l'autre sens.
Remplace cos et sin par les formules d'Euler, développe par le binôme puis passe à la partie réelle (mais normalement pas besoin parce tu pars d'un réel...). Tu peux aussi regarder par récurrence pourquoi $\cos^k(\theta)\sin(\theta)$ est bien un polynôme trigonométrique pour tout $k$.
Ca s'appelle linéariser, on apprend ça au lycée pour
primitiver et normalement en début de sup, c'est acquis à partir du moment où le chapitre des complexes est maitrisé.
Encore une fois, je ne dis pas toutes ces choses pour t'enfoncer bien que beaucoup de gens qui lisent pensent certainement le contraire. J'essaye de te montrer que tu t'attaques à des choses plutôt faciles, élémentaires, fluides, rudimentaires, pour quelqu'un qui a mangé des batteries d'exo de lycée, des exos de base de complexes etc... donc oui, les 3/4 des candidats de prépa qui se sont sérieusement préparé à central devraient être peu intimidés par une telle question. -
C'est l'indication de polka avec la dérivée que je n'ai pas comprise.
Je sais lineariser j'ai vu ça en début de cours de mpsi. -
Ben Polka te dit de dériver $f(\theta)$ pour appliquer la question 14, c'est ce que je te dis aussi.
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En fait, c'est piège. Quand on a un temps limité pour faire un exercice, on est concentré, on ne pense qu'à cet exercice. Au moment de faire la question 14, on se souvient de la question 13, ça aide.
Quand on étale ça sur plusieurs semaines, on n'a pas tout ça. Au moment de faire la question 14, soit on se souvient de ce qu'on a fait pour les questions précédentes, quelques jours auparavant, et on est plus ou moins dans les mêmes conditions que celui qui a un temps limité, soit on ne s'en souvient pas, et chaque nouvelle question devient un problème totalement nouveau.
Comme quoi, on y revient, il suffit d'un problème de mémoire, et tout est foutu.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@Lourran
Oui c'est vrai. Après quand je cherche un problème moi-même sans corrigé, je me souviens des questions même 1 semaine après.
J'ai un peu de travail avec la rentrée scolaire au collège, donc je ne peux pas bosser tous les jours mes maths.
@Alexique
Ok je pense avoir réussi cette fois.
On a $\cos( \theta) ^k \sin(\theta)=Re(e^{i k \theta} \sin (\theta)$
Donc après calculs : $\boxed{\cos( \theta) ^k \sin(\theta)=\dfrac{1}{2} ( \sin( (k+1) \theta) - \sin( (k-1) \theta) )}$
Donc $f(\theta)=\dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k \left( \sin( (k+1) \theta) - \sin( (k-1) \theta) \right)$
Ainsi, $\boxed{f \in \delta_n}$
Par ailleurs, $\boxed{f'(\theta)=Q( \cos( \theta) ) \cos( \theta) - \sin^2( \theta) Q' (\cos( \theta))}$
Et $f'(0)= Q(1)$
Donc $|Q(1)| \leq n ||f ||_{\infty}$. Or $||f ||_{\infty}||= \sup_{x \in [-1,1]} | Q(x) \sqrt{1-x^2}|$
Enfin $\boxed{\forall Q \in \C_{n-1} [X] \ \ |Q(1)| \leq n \sup_{x \in [-1,1]} | Q(x) \sqrt{1-x^2}|}$
Question $17$ :
On remarque que $S_t(1)=R(t)$ donc $|R(t)|=|S_t(1)| \leq n \sup_{x \in [-1,1]} | R(t x) \sqrt{1-x^2}|$
Après je ne vois pas. -
Formule d'OShine : $Re(zz') = Re(z)Re(z')$.
Corollaire : $sin(k\theta) = Re(-ie^{ik\theta}) = Re(-i)Re(e^{i\theta})^{k} = 0$.
Je me demande bien pourquoi ils viennent nous casser les pieds avec leurs polynômes de Tchebychev en première partie ! -
Oui grosse bêtise je vais recommencer.
-
Mais de toute façon, par la Q3 (tu me forces à relire les questions de TON sujet que tu oublies :-X), on sait déjà que $\theta \mapsto Q(\cos(\theta))$ est dans $S_n$ donc il reste à montrer la stabilité en multipliant par $\sin(\theta)$ donc inutile de faire toute cette usine à gaz...
Autre façon : remarquer que $f$ se primitive bien en $\int^{\cos(\theta)} Q(x) dx$, si on montre que $S_n$ est stable par dérivation, c'est gagné et ce n'était pas l'idée de Polka, sauf erreur...
Bref, tu as 1000 façons d'y arriver, on peut aller très vite en étant malin. -
Et arrête d'écrire $\delta_{n}$ pour $S_{n}$. Tu vas me dire que ce n'est pas grand chose mais on retombe encore sur ce que j'adore dire : manque de culture mathématique !
Le $\delta$ a essentiellement deux usages en maths : soit un accroissement très petit, soit une mesure de Dirac ou chose ressemblante (par exemple dans la formule de produit de matrices élémentaires $E_{ij}E_{kl} = \delta_{jk}E_{il}$). Et tu connais ces cas en plus ! Les notations choisies ont beau être personnelles, dès qu'elles sont farfelues c'est mauvais signe. -
@RLC
J'avais mal lu la notation de l'énoncé.
@Alexique
Oui bien vu d'utiliser Q3.
D'après Q3, l'application $\theta \mapsto Q(\cos \theta)$ est dans $\mathcal S_{n-1}$ car $\deg Q \leq n-1$
Donc $f(\theta)= \sin \theta \left( a_0+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (a_k \cos(k \theta)+b_k \sin(k \theta)) \right)$
Or $\sin \theta \cos(k \theta)=\dfrac{1}{2} (\sin ( (k+1) \theta) + \sin ((1-k) \theta)$
Et $\sin \theta \sin(k \theta)=\dfrac{1}{2} (\cos ( (1-k) \theta) - \cos ((1+k) \theta)$
Ainsi, $f(\theta)= a_0 \sin \theta + \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k (\sin ( (k+1) \theta) - \sin ((k-1) \theta) +b_k (\cos ( (k-1) \theta) + \cos ((1+k) \theta)$
$\boxed{f(\theta)=a_0 \sin \theta + \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{j=2}^{n} a_{j-1} \sin ( j \theta)- \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-2} a_{j+1} \sin ( j \theta) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-2} b_{j+1} \cos ( j \theta) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{j=2}^{n} b_{j-1} \cos ( j \theta) } $
Donc $\boxed{f \in \mathcal S_n}$ -
Pour la question $17$, je bloque à l'étape $\forall t \in [-1,1] \ \ |R(t)| \leq n \sup_{x \in [-1,1]} | R(t x) \sqrt{1-x^2}|$
-
Il est impossible de ne pas savoir faire la question 17. En effet la solution est dans la question (comme très souvent dans ce sujet).
-
Et dans la question 16
-
Il faut démontrer que :
$$
\forall t \in [-1,1] ,\qquad \sup_{x \in [-1,1]} \big| R(tx) \sqrt{1-x^2} \big| \leq \sup_{x \in [-1,1]} \big| R(x) \sqrt{1-x^2}\big|.
$$ Mais je ne trouve pas. -
@Bd2017
En fait c'était facile tu as raison.
Soit $x \in [-1,1]$. Soit $t \in [-1,1]$.
Comme $t^2 \in [0,1]$ alors $t^2 x^2 \leq x^2 \implies -x^2 \leq -t^2 x^2 \implies 1-x^2 \leq 1-t^2 x^2$
Par croissance de la fonction racine carrée, $\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{1-t^2 x^2}$
Donc $| R(tx) \sqrt{1-x^2}| \leq |R(tx) \sqrt{1-t^2 x^2}| \leq \sup_{y \in [-1,1]} | R(t) \sqrt{1-y^2}|$ car $tx \in [-1,1]$
Par définition de la borne supérieure, on a $\sup_{x \in [-1,1]} | R(tx) \sqrt{1-x^2}| \leq \sup_{y \in [-1,1]} | R(y) \sqrt{1-y^2}|$
Finalement $\boxed{\forall R \in \C_{n-1} [X] \ \ \forall t \in [-1,1] \ \ |R(t)| \leq n \sup_{x \in [-1,1]} | R(x) \sqrt{1-x^2}|}$
Question $18$ :
Soit $P \in \C_n[X]$ alors $P' \in \C_{n-1}[X]$. D'après Q17, avec $R=P'$ on a pour tout $t \in [-1,1]$ :
$| P'(t)| \leq n \sup_{x \in [-1,1]} | P'(x) \sqrt{1-x^2}|$
D'après Q15, on a $\forall x \in [-1,1] \ \ | P'(x) \sqrt{1-x^2}| \leq n ||P||_{\infty}$
Finalement $\forall t \in [-1,1] \ \ |P'(t)| \leq n^2 ||P||_{\infty}$
Par définition de la borne supérieure, on en déduit $\boxed{||P'||_{\infty} \leq n^2 ||P||_{\infty}}$
Question $19$ :
Oui il peut y avoir égalité, voir Q4 et Q5.
Cette fin de la partie 1 est étonnement facile ::o -
Fais le sujet en temps limité, disons 5h,et on en reparle.
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Julian il faut être honnête cette première partie ne comporte pas de difficulté et ne nécessite que très peu de connaissances du supérieur : nombres complexes, borne supérieure, inégalité triangulaire, dérivée de l'exponentielle complexe.
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Bonjour.
Ça, c'est une conclusion à postériori, un fois le sujet fini et au bout de 9 jours de réflexions.
Oshine, il faut effectivement être honnête, dans les conditions de l'épreuve tu n'arrivais pas au bout.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Après 9 jours, 4 pages de posts et je sais pas combien d'indications de notre part, monsieur Oshine déclare "bon, c'était facile en fait cette partie 1 !". A la fois, je suis heureux que tu en prennes conscience et à la fois, c'est assez ridicule vu que tu n'es pas un candidat de prépa avec moins de 2 ans de recul sur ces notions, qui effectue le sujet en temps limité, en condition de stress, sans aide extérieure, et qui va aller un peu plus que la partie 1. Comme d'habitude, tu ne te mets pas à la place des autres et tu es presque nonchalant vis à vis d'un sujet qui t'a fait sécher et écrire pas mal de bêtises (bêtises qu'on pourrait parfois trouver dans une copie de BAC). T'es sacrément gonflé !
Que ça nécessite peu de connaissances ou des connaissances peu poussées, c'est presque vrai mais pour un spé qui n'a pas revu ses lointains cours de début de sup, ça peut être un sujet faussement facile. Et puis, on peut faire des sujets difficiles avec peu de notions avancées, ce n'est pas vraiment la question (cf concours général). -
Petite rectif: je lui demandais de résoudre le sujet entier en 5h allez disons 6h,sans aide.... Fais en nickel la moitié, ce sera déjà bien.
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Il y a des sujets même après 1 semaine et le corrigé je ne comprends toujours pas.
Cette partie 1 est accessible même pour les candidats faibles comme moi. -
Dire que re(zz') =re(z) re(z') de manière générale faut le faire !
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