Roh làlà, toujours les mêmes lacunes... Tu ne fais toujours pas la distinction entre une variable muette et une variable liée. C'est pas comme si on passait notre temps à te dire de reprendre les bases (et par les bases, c'est le lycée qu'on entend).
Je pense que le problème principal de OShine est qu'il est impatient.
D'un côté, il faut rester réaliste : là ou beaucoup de membres réguliers du forum sont des gens qui ont fait des études de maths fondamentales ou appliquées, lui a fait une école d'ingénieurs où les mathématiques n'avaient pas de grande place. Il essaie de s'y remettre des années après, et il a du mal : il a avoué que ses profs de maths de prépa le traitaient de nul (bon, c'est le cas de la plupart des gens qui ont fait une prépa... mais quand même). Donc on peut garder en mémoire qu'il n'a peut-être pas beaucoup de facilités en maths comparé aux membres réguliers du forum. Et comme on a l'habitude d'interagir "entre matheux", peut-être qu'on en exigeait beaucoup de sa part par rapport à son réel niveau. En tout cas au début, là ça fait quand même un moment.
Je peux aussi concevoir qu'un ex-ingénieur, reconverti en prof de maths, en prenne un coup dans son égo si on lui dit "va t'entrainer sur des exercices du niveau de ceux que tu donnes à tes élèves". J'ai essayé de ne pas trop lui parler comme ça, personnellement.
Mais je pense effectivement qu'il s'entraine sur des choses un peu trop dures pour son niveau. On peut très bien progresser en s'attaquant à quelque chose de beaucoup trop dur, à condition de savoir s'organiser et combler ses lacunes très méthodiquement. Et c'est là que le manque de patience de OShine se manifeste doublement : il s'attaque à des choses qui deviennent rapidement difficiles pour les gens qui ont le niveau prévu (un sujet de concours, ça commence doucement et ça part vite dans des choses plus techniques) alors que lui ne l'a pas, et quand il ne trouve pas assez rapidement (ce qui n'est pas très long, car il est impatient), il se jette sur un corrigé. Et quand il ne comprend pas le corrigé assez rapidement, il faut que ce soit le corrigé le problème.
J'ai pas mal parlé de toi à la troisième personne, maintenant OShine je te donne un conseil à toi.
Même si tu n'as pas un bon niveau de fin de prépa, tu peux tout à fait t'entraîner à faire des sujets de concours de sortie de prépa. Cependant, tu dois vraiment, vraiment changer ta méthode et prendre le temps dont TU as besoin. On s'en fout, si le sujet est censé être faisable en 6 heures et qu'il t'en faut 600. C'est en comblant ses lacunes qu'on devient meilleur, si tu en as beaucoup il te faudra plus de travail pour les combler, c'est normal. Si tu veux progresser, tu dois être réaliste par rapport à tes capacités. Choisis UN sujet de concours, sors TOUS tes bouquins. Fais les questions une par une en réfléchissant par toi-même aussi longtemps que nécessaire pour épuiser TOUTES tes idées pour la question. Ensuite, fouille TOUS tes bouquins un par un à la recherche d'un indice, d'un résultat qui ait l'air d'avoir un rapport avec la question.
Tu vas souvent te rendre compte que certaines questions reviennent à des choses basiques : tu te souviens de ton exercice de topologie sur les intérieurs, adhérences, frontières ? Ta vraie lacune ici, c'était de ne pas savoir comment distribuer des $\cup$ et des $\cap$ dans les formules comme $(X \setminus Y) \cap (A \setminus $ : ce n'était pas du tout une lacune par rapport au cours de topologie de deuxième année, c'était un truc beaucoup plus basique qui te posait problème. Ben, ça, c'est normal d'en avoir tout le temps : il suffit de voir qu'on bloque sur un truc précis, isoler le truc précis de son contexte (ici : écrire le bidule ensembliste sans se préoccuper de la nature topologique des ensembles) et réfléchir à ça à part, avant de revenir à l'exercice. On avance étape par étape comme ça, ça prend du temps mais au moins ça marche. Vu que tu as fini tes études, et que tu enseignes, on s'autorise d'attendre de ta part que tu saches identifier tes propres lacunes, que tu saches en faire un "sous-exercice" de ton exercice et que tu y travailles par toi-même. Il faut le faire !
Si tu fonctionnes comme ça, au lieu de venir sur le forum avec un sujet de concours complet et faire les 10 questions "en direct" sur le forum (ces fils de discussion deviennent toujours difficiles à suivre, pour tout le monde), tu viens et tu poses UNE question, et surtout, une question précise. Tu seras beaucoup moins paumé entre les interventions de 10 personnes sur 10 questions différentes si tu fonctionnes comme ça, ça t'aidera énormément à progresser en comprenant où tu vas.
Petit épilogue : en somme, tu dois "apprendre à apprendre". Ce n'est pas du tout un truc dont il faut avoir honte, je te dis ça au cas où. Ce n'est pas facile de comprendre comment travailler tout seul de manière à ce que ça fonctionne pour notre propre cerveau. Moi, j'ai passé beaucoup de temps à lire ou recopier des cours comme un abruti. Je ne fais plus du tout ça, au lieu de ça, j'essaie de refaire mes cours moi-même comme si j'allais l'expliquer à quelqu'un d'autre, pour voir si je comprends les notions au point de savoir les expliquer à un débutant. Et les exercices, même ceux dont mes bouquins donnent un corrigé, j'en fais une rédaction que je comprends même 2-3 ans après "juste en lisant", en y mettant tous les détails dont MOI j'ai besoin, peu importe si c'est long et pompeux. C'est pour moi que je fais ça, après tout.
@maths2
En effet, je n'avais pas pensé aux taupins. C'est vrai que fournir des corrigés trop détaillés serait peut être contre-productif.
@Poirot
Je crois que c'est plutôt parce que je ne comprends pas le principe de la deuxième méthode proposée par @Bisam et @RLC que je dis des bêtises.
@Homo Topi
Ce sujet de Centrale n'est pas trop dur pour moi, je trouve quand même la moitié des questions voir plus. Il serait trop dur si je ne réussissais aucune question. Contrairement aux sujets des ENS, j'ai fait les premières questions assez facilement.
Puis des sujets trop faciles ça sert à quoi au juste ?
Je ne suis pas paumé sur ce fil, il y a un nombre raisonnable d'intervenants.
J'ai résolu la question 6 à ma façon mais on m'a proposé une autre méthode.
Je lisais il y a peu de temps que les sujets de Centrale, ce sont des sujets où on attrape une tendinite au poignet. La difficulté n'est pas dans le niveau très élevé des questions, mais dans la longueur du sujet. Paraît-il, je répète. Et donc, la différence entre le type admissible et le type recalé, ce serait essentiellement le temps passé pour chaque question, la capacité à faire chacune des questions en un temps limité.
Et à l'oral, les candidats seraient ensuite départagés non plus seulement sur leur capacité à pisser les théorèmes très vite, mais sur des exercices demandant plus d'intuition, plus de subtilité.
C'est en phase avec ce qu'on voit ici.
Moi je suis beaucoup moins confiant que Homo Topi.
Les concours, c'est comme les jeux olympiques. On se prépare pendant 2 ans ; pendant ces 2 ans, voire 3 ans, on a un objectif unique, être prêt pour le jour J.
Avec ce calendrier, cette préparation, on arrive à son niveau d'excellence le jour J.
Si le jour J, à la fin de cette préparation sur mesure, on n'a pas le niveau pour intégrer telle ou telle grande école, ou pour être quasiment admissible, je vois très mal comment, 10 ans plus tard, en mode touriste, on pourrait faire mieux que ce qu'on n'a pas su faire le jour J.
Certes, ici, l'objectif est de résoudre en 10 ou 20 jours un exercice qu'un taupin est sensé faire en 4 heures. La barre est moins haute.
Mais quand même.
Perso, à 18 ou 20 ans, je savais faire tous les exercices qu'on me soumettait. Dix ans plus tard, après quelques beuveries entre potes et un peu de laisser aller, et un métier à assumer, j'aurais été bien incapable de faire la moitié des exercices en question.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@Lourran
Je suis largement plus fort que quand j'étais en prépa, même en bossant que 30 min de maths par jour. J'ai une meilleur compréhension de plein de choses, et plus de recul.
Oui sûrement mais je fais ces sujets pour apprendre des choses et voir si je suis capable de résoudre des questions seul. Peu importe le temps que je mets, je ne prépare pas un concours d'école d'ingénieur, je ne suis pas un taupin.
Il y a certaines questions que je sais résoudre en 5 min comme la question $9$.
La question 7 j'ai mis 1 minutes pour la résoudre.
Je ne vois pas le lien avec les polynômes interpolateurs de Lagrange :-S.
Soit $B \in \C_{2n-1}[X]$. On pose $P(X)=B(X) -\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k) A(X)}{(X-\alpha_k) A'(\alpha_k)}$
On a $\deg P \leq \max (2n-1,2n-1) \leq 2n-1$. Il suffit de montrer que $P$ possède plus de racines que son degré.
Pour $k \in [|1,2n|]$ je n'ai pas compris comment calculer $P(\alpha_k)$.
Pourquoi tu ne pioches pas dans des recueils d'exercices avant de faire des sujets comme le veut l'ordre logique des choses ?
Par exemple quelles seraient tes réactions à chaud en lisant ces énoncés :
E1 "Notons Pn l'ensemble des parties de N à n éléments, et P l'ensemble des parties de N. Comme Pn est finie, et que P est l'union dénombrable des Pn, on en déduit que l'ensemble des parties de N est dénombrable"
E2 "Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Si pour tout x il existe k un scalaire tel que u(x) = kx, u est une homothétie"
J'ai fait des centaines d'exercices avant quand j'ai travaillé le cours sur les polynômes etc.... J'ai fait tous les exercices de mon livre de MPSI il y en a 20-25 par chapitre environ. J'ai aussi fait des exos d'oraux de CCP.
Cette première partie de Centrale porte sur le programme de première année.
Les exercices de mon livre MPSI et MP sont bien plus difficiles que ces questions de Centrale. Ceux qui ont une ou deux étoiles sont infaisables à mon niveau. Il y a des exercices des oraux de l'X et de ENS Rennes, ENS ULM.
Je n'ai pas vu le cours sur les ensembles dénombrables encore. J'ai fait une pause dans le cours de MP.
E2 est faux. Le scalaire $k$ dépend du vecteur $x$. Pour que ce soit une homothétie, c'est plutôt il existe un un scalaire $k$ tel que pour tout $x \in E$, $u(x)=k x$.
Tu as "fait" tous ces exercices, et pourtant tu coinces sur des manipulations qui étaient certainement dans certains d'entre eux. Tu ne vois toujours pas le problème avec ta méthode de "travail" ?
Effectivement il faut faire attention à la dépendance, mais ça ne veut pas dire que $E_{2}$ sera fausse: ça, c'est une erreur logique !
D'autant plus qu'ici, la proposition est à mon avis vraie.
Je reviens à mon calcul, je ne trouve pas où est mon erreur :-S
J'ai $P(X)=B(X)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (X-\alpha_l)$
Donc $P(\alpha_k)=B(\alpha_k)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (\alpha_k-\alpha_l)$
Comme $A(x)=\displaystyle\prod_{p=1 }^{2n} (X-\alpha_p)$ alors $A'(\alpha_k)=\displaystyle\prod_{p=1 , p \ne k}^{2n} (X-\alpha_p)$
Donc $P(\alpha_k)=B(\alpha_k)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} B(\alpha_k)$
Ton erreur c'est que tu n'écoutes rien de ce qu'on te dit et donc tu restes bloqué au même niveau (j'ai même la forte sensation que tu régresses). C'est du grand n'importe quoi ton dernier message.
Je suis largement plus fort que quand j'étais en prépa
Ca c'est ton impression. En prépa, ton travail était évalué par tes profs, aujourd'hui, c'est toi-même qui évalue ton travail.
Tu ne vois pas que la mesure est biaisée ? Totalement biaisée ?
Même ça, tu ne le vois pas ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@Poirot
Oui j'ai écrit n'importe quoi. A force de ténacité, j'ai passé 1 heure dessus, j'ai enfin trouvé.
J'ai compris mon erreur le $k$ est l'indice de la somme donc si je veux calculer $P(\alpha_k)$ pour tout $k$ je dois prendre une autre lettre que $k$.
$P(X)=B(X)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (X-\alpha_l)$
Soit $j \in [|1,2n|]$.
Donc $P(\alpha_j)=B(\alpha_j)-\displaystyle\sum_{k=1}^{ 2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (\alpha_j-\alpha_l)$
Comme $A(x)=\displaystyle\prod_{p=1 }^{2n} (X-\alpha_p)$ alors $A'(\alpha_k)=\displaystyle\prod_{p=1 , p \ne
k}^{2n} (\alpha_k-\alpha_p)$
Donc $\boxed{P(\alpha_j)=B(\alpha_j)-\displaystyle\sum_{k=1}^{ 2n} B(\alpha_k) \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} \dfrac{ (\alpha_j-\alpha_l)}{(\alpha_k-\alpha_l)}}$
Je reconnais maintenant le polynôme d'interpolation de Lagrange. Notons $L_k(\alpha_j)= \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} \dfrac{ (\alpha_j-\alpha_l)}{(\alpha_k-\alpha_l)}$
On sait que $\boxed{L_k(\alpha_j)= \delta_{kj}}$ donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{ 2n} B(\alpha_k) L_k(\alpha_j)=B(\alpha_j)$
E2 est vrai mais pas trivialement vrai. Je suis content que tu n'aies pas sauté dedans à pied joint alors qu'un problème d'ordre des quantificateurs est typiquement le piège bateau par excellence. Tu peux t'amuser à le montrer ce n'est vraiment pas dur.
Tu n'as pas répondu à ma question : un polynôme qui vaudrait 1 en $\alpha_{i}$ et 0 en les autres $\alpha_{j}$.
Je vais être catégorique : ne pas avoir dit "Ah oui bien sûr !" quand j'ai parlé d'interpolation, c'est grave et à corriger.
Et rien que l'inertie sur "k ne peut pas être pris c'est l'indice de la somme" mérite PARTICULIÈREMENT que tu nous montres ta compréhension plus approfondie de la question.
Edit : je viens de voir le dernier message, my bad.
Bon, comme dit Poirot il est inutile d'invoquer les polynômes intetpolateurs pour résoudre la question.
Ce que je voulais simplement que tu remarques, c'est que la formule de la question 6. est tout simplement la formule d'interpolation de Lagrange appliquée à B en les lambda.
En concours on peut passer sans le voir et ça se comprend, mais ici il est très bon de le remarquer. D'autant que c'est une idée qui ne semble pas aller de soi d'interpoler polynomialement un polynôme, et donc surprendre le matheux en nous tous. Mais en fait ça sert à faire de jolies choses en analyse, comme le montre par exemple ce sujet.
Bon, @Os tu penses encore nous entuber combien de temps ?
Tu nous racontes que tu as progressé et nous fais croire que tu sais faire 50% des questions d'un concours.
Mais à chaque fois tu as le corrigé. Et on ne voit de ta part que la production d'une infime partie des questions du sujet, sûrement pompée du corrigé.
Laisse-nous te donner un sujet dont on espère que tu ne trouveras pas de corrigé.
Et on sera bien surpris de te voir pondre quelque chose.
P.S. Quant à ton évaluation, il y a ici sur ce forum des personnes qui ont certainement des compétences et d'autres qui te suivent depuis plusieurs années (sous les pseudos de @Medhi-128- Ramanudjan et @Oshine) qui te diront que [ton] auto-évaluation est fausse.
bd2017 : j'ai essayé une fois de lui vendre comme exercice de démontrer que la fonction racine carrée est uniformément continue. Il n'a pas voulu essayer. Pourtant, ça lui en aurait appris, des choses...
Oshine, l'intérêt est de te voir faire une vraie rédaction, propre, correcte du premier coup et en un temps déterminé et fixé au préalable, par respect pour ceux qui te liront.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
@HT racine carrée est U- continue sur ?
As-tu essayé $[0,\infty[$ ?
@Os vu que tu es fort dans l'interpolation de Lagrange.
Je te propose ce petit exo avec indication.
On cherche un polynôme $p$ qui vérifie $p(-1)=a;\ p'(-1)=b;\ p(1)=c$ où $a,b,c$ sont 3 réels fixés. a) Pour cela on considère $0<\epsilon<1$ et on considère le polynôme d'interpolation $p_\epsilon$ qui vérifie
$p_\epsilon(-1)=a, p_\epsilon(-1+\epsilon)=a+b\epsilon, p_\epsilon(1)=c $
Montrer que $p_\epsilon$ converge et déterminer cette limite. b) Conclure : c'est-à-dire montrer que cette limite répond à la question. c) La solution trouvée en b est-elle unique ?
Pas la peine de répondre à ma question, j'ai vu après coup ton post d'avant.
Donc tu as normalement bien remarqué que chaque terme de la somme est en gros le polynôme que tu viens de me donner et la formule disait simplement ça.
Exemple je fais la question $9$ par moi-même. J'ai pris du temps pour la fin, je me souvenais qu'il fallait faire une division euclidienne dans la démonstration du cours de $z^n=1$.
Je me demande si toutes ces justifications sont utiles :-S
Résolvons $z^{2n}+1=0$ avec $z \in \C$. Posons $z=|z| e^{i \theta}$ avec $\theta$ un argument de $z$.
L'équation s'écrit $|z|^{2n} e^{2n i \theta} = e^{i \pi} \Leftrightarrow \begin{cases}
|z| =1 \\
\exists k \in \Z \ \ 2n \theta = \pi + 2 k \pi
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
|z| =1 \\
\exists k \in \Z \ \ \theta = \dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi }{n}
\end{cases}$
L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\mathcal S=\{ \omega_k \ | \ k \in \Z \}$ avec les notations de l'énoncé où $\omega_k=\exp ( i (\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi }{n}))$
Soit $k \in \Z$. La division euclidienne de $k$ par $2n$ permet de trouver $q \in \Z$ et $t \in [|0,2n-1|]$ tels que $k=2nq+t$.
On a alors $\omega_k = \exp ( i (\dfrac{\pi}{2n} +2q \pi + \dfrac{ t \pi }{n}))$
Donc $\omega_k = \exp ( i (\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ t \pi }{n}))$. Ainsi, $\boxed{\mathcal S= \{ \omega_t \ | \ t \in [|0,2n-1|]}$
Vérifions qu'il y a excatement $2n$ racines, c'est-à-dire que les $w_0, \cdots, x_{2n-1}$ sont distincts deux à deux.
Soient $k$ et $l$ deux entiers de $[|0,2n-1|]$.
Si $w_k = w_l$ alors $\dfrac{k \pi}{n} \equiv \dfrac{l \pi}{n} [2 \pi]$. Il existe donc un entier relatif $u$ tel que $\dfrac{k \pi}{n} = \dfrac{l \pi}{n}+2 u \pi$
Soit encore $k -l = 2 u n$
Or $0 \leq k,l \leq 2n-1$ donc $-(2n-1) \leq k-l \leq 2n-1$. Donc $k-l$ ne peut être un multiple de $n$ que si $k=l$.
On a montré que $\boxed{R(X)=\displaystyle\prod_{k=0}^{2n-1} (X-\omega_k)}$ avec $w_0=w_{2n}$ et $w_{2n-1}=w_1$ ce qui fournit finalement :
Ce n'est pas faux, mais les $\omega_{k}$ sont tous distincts pour $0\leq k\leq 2n-1$ car on a travaillé modulo $2 \pi$ au départ et que les arguments sont bien dans $[0, 2 \pi[$ ... et c'est tout. A mon avis, c'est du cours à ce niveau (L1) et il n'y a pas besoin de refaire les divisions euclidiennes, les congruences servent à ça.
En fait, tu as deux possibilités : résoudre l'équation $z^{2n}+1=0$ ou vérifier que les $\omega_k$ sont solutions puisqu'on te les donne mais tu n'en profites pas, c'est dommage. Du coup, y'a rien à dire ou presque et en 2 lignes c'est fait :
$2n \varphi_k \equiv \pi [2 \pi]$ pour tout $k\in [|1,2n|]$ donc $\omega_k^{2n}=-1$. Par ailleurs, $(\varphi_k)_{1 \leq k \leq 2n}$ est strictement croissante (suite arithmétique de raison >0) et $\varphi_{2n}-\varphi_1<2\pi$ donc les $\omega_k$ sont tous distincts, ce sont donc les $2n=deg(R)$ racines simples de $R$ unitaire d'où la factorisation.
Vu que tu ne précises pas que $R$ est unitaire, je pourrais presque dire que ta démo est incomplète parce que c'est un argument important quand on cherche à factoriser un polynôme. Tu continues de faire des pavés pour rien, sans les arguments clef mais avec des arguments de bébé pour un concours qui s'adresse à des candidats qui maitrisent à priori très bien leur chapitre de complexes de début de sup. Si tu trouves ma rédaction trop courte, alors interroge-toi...
Des nombres complexes unitaires d'arguments distincts mais dans un intervalle de longueur $<2\pi$ sont tous distincts... Le premier truc à comprendre quand on fait le cercle trigo aux élèves en 2nd.. et quand on y revient en terminale avec l'argument.
Si tu fais le sujet sur plusieurs jours, il faut se remémorer les questions précédentes à chaque fois (on vient de factoriser $R(X)=X^{2n}+1$ ...), sinon ça amène à ce genre de commentaire:
Je trouve ce sujet complètement bof ! En effet à chaque étape on pose la question et
on dit comment il faut faire. Autrement dit on donne la solution.
Il reste à écrire....
D'après Q8, on a $\lambda P'(\lambda)= Q_{\lambda} (1)$. Or $Q_{\lambda} (1)=- \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ P(\lambda w_k)- P(\lambda)}{w_k -1} \dfrac{2}{1-w_k} w_k$ ce qui permet de conclure immédiatement en développant.
Ainsi, $- \dfrac{ P(\lambda)}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{2 w_k}{ (1-w_k)^2} = - \dfrac{ P(\lambda)}{2n} (-2n^2)=P(\lambda) n$ ce qui donne le résultat voulu.
Pour Q12, je ne vois pas trop comment raisonner. J'ai souvent du mal quand on doit montrer l'existence.
Soit $f \in \delta_n$. Alors $\exists (a_0, \cdots, a_n) \in \C^{n+1}$ et $\exists (b_1, \cdots, b_n) \in \C^n$ tels que $\forall t \in \R \ \ f(t)=a_0+ \displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k \cos(kt)+ b_k \sin(kt) )$
On cherche $U \in \C_{2n} [X]$ tel que $\forall \theta \in \R \ \ a_0+ \displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k \cos(k \theta)+ b_k \sin(k \theta) )= e^{-i n \theta} U(e^{i \theta})$
On a $\forall \theta \in \R \ f(\theta)=a_0+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \dfrac{ e^{i k \theta}+ e^{-i k \theta}}{2} + b_k \dfrac{ e^{i k \theta}- e^{-i k \theta}}{2i} $
Bon, tu veux pas faire un effort pour comprendre ce qu'il se passe ?
On reprend les conseils qu'on te donne depuis des millénaires : essayer sur des exemples, sortir la tête du guidon...
Allez va donc plutôt que critiquer le major de l'agreg.
Réponses
On veut montrer que $\forall B \in \C_{2n-1} [X] \ \ P(X)=B(X) -\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k) A(X)}{(X-\alpha_k) A'(\alpha_k)}=0$
Je n'ai pas compris le raisonnement pour démontrer que $P=0$. On ne peut pas évaluer en $\alpha_k$ car $k$ est l'indice de la somme :-S
D'un côté, il faut rester réaliste : là ou beaucoup de membres réguliers du forum sont des gens qui ont fait des études de maths fondamentales ou appliquées, lui a fait une école d'ingénieurs où les mathématiques n'avaient pas de grande place. Il essaie de s'y remettre des années après, et il a du mal : il a avoué que ses profs de maths de prépa le traitaient de nul (bon, c'est le cas de la plupart des gens qui ont fait une prépa... mais quand même). Donc on peut garder en mémoire qu'il n'a peut-être pas beaucoup de facilités en maths comparé aux membres réguliers du forum. Et comme on a l'habitude d'interagir "entre matheux", peut-être qu'on en exigeait beaucoup de sa part par rapport à son réel niveau. En tout cas au début, là ça fait quand même un moment.
Je peux aussi concevoir qu'un ex-ingénieur, reconverti en prof de maths, en prenne un coup dans son égo si on lui dit "va t'entrainer sur des exercices du niveau de ceux que tu donnes à tes élèves". J'ai essayé de ne pas trop lui parler comme ça, personnellement.
Mais je pense effectivement qu'il s'entraine sur des choses un peu trop dures pour son niveau. On peut très bien progresser en s'attaquant à quelque chose de beaucoup trop dur, à condition de savoir s'organiser et combler ses lacunes très méthodiquement. Et c'est là que le manque de patience de OShine se manifeste doublement : il s'attaque à des choses qui deviennent rapidement difficiles pour les gens qui ont le niveau prévu (un sujet de concours, ça commence doucement et ça part vite dans des choses plus techniques) alors que lui ne l'a pas, et quand il ne trouve pas assez rapidement (ce qui n'est pas très long, car il est impatient), il se jette sur un corrigé. Et quand il ne comprend pas le corrigé assez rapidement, il faut que ce soit le corrigé le problème.
J'ai pas mal parlé de toi à la troisième personne, maintenant OShine je te donne un conseil à toi.
Même si tu n'as pas un bon niveau de fin de prépa, tu peux tout à fait t'entraîner à faire des sujets de concours de sortie de prépa. Cependant, tu dois vraiment, vraiment changer ta méthode et prendre le temps dont TU as besoin. On s'en fout, si le sujet est censé être faisable en 6 heures et qu'il t'en faut 600. C'est en comblant ses lacunes qu'on devient meilleur, si tu en as beaucoup il te faudra plus de travail pour les combler, c'est normal. Si tu veux progresser, tu dois être réaliste par rapport à tes capacités. Choisis UN sujet de concours, sors TOUS tes bouquins. Fais les questions une par une en réfléchissant par toi-même aussi longtemps que nécessaire pour épuiser TOUTES tes idées pour la question. Ensuite, fouille TOUS tes bouquins un par un à la recherche d'un indice, d'un résultat qui ait l'air d'avoir un rapport avec la question.
Tu vas souvent te rendre compte que certaines questions reviennent à des choses basiques : tu te souviens de ton exercice de topologie sur les intérieurs, adhérences, frontières ? Ta vraie lacune ici, c'était de ne pas savoir comment distribuer des $\cup$ et des $\cap$ dans les formules comme $(X \setminus Y) \cap (A \setminus $ : ce n'était pas du tout une lacune par rapport au cours de topologie de deuxième année, c'était un truc beaucoup plus basique qui te posait problème. Ben, ça, c'est normal d'en avoir tout le temps : il suffit de voir qu'on bloque sur un truc précis, isoler le truc précis de son contexte (ici : écrire le bidule ensembliste sans se préoccuper de la nature topologique des ensembles) et réfléchir à ça à part, avant de revenir à l'exercice. On avance étape par étape comme ça, ça prend du temps mais au moins ça marche. Vu que tu as fini tes études, et que tu enseignes, on s'autorise d'attendre de ta part que tu saches identifier tes propres lacunes, que tu saches en faire un "sous-exercice" de ton exercice et que tu y travailles par toi-même. Il faut le faire !
Si tu fonctionnes comme ça, au lieu de venir sur le forum avec un sujet de concours complet et faire les 10 questions "en direct" sur le forum (ces fils de discussion deviennent toujours difficiles à suivre, pour tout le monde), tu viens et tu poses UNE question, et surtout, une question précise. Tu seras beaucoup moins paumé entre les interventions de 10 personnes sur 10 questions différentes si tu fonctionnes comme ça, ça t'aidera énormément à progresser en comprenant où tu vas.
Petit épilogue : en somme, tu dois "apprendre à apprendre". Ce n'est pas du tout un truc dont il faut avoir honte, je te dis ça au cas où. Ce n'est pas facile de comprendre comment travailler tout seul de manière à ce que ça fonctionne pour notre propre cerveau. Moi, j'ai passé beaucoup de temps à lire ou recopier des cours comme un abruti. Je ne fais plus du tout ça, au lieu de ça, j'essaie de refaire mes cours moi-même comme si j'allais l'expliquer à quelqu'un d'autre, pour voir si je comprends les notions au point de savoir les expliquer à un débutant. Et les exercices, même ceux dont mes bouquins donnent un corrigé, j'en fais une rédaction que je comprends même 2-3 ans après "juste en lisant", en y mettant tous les détails dont MOI j'ai besoin, peu importe si c'est long et pompeux. C'est pour moi que je fais ça, après tout.
En effet, je n'avais pas pensé aux taupins. C'est vrai que fournir des corrigés trop détaillés serait peut être contre-productif.
@Poirot
Je crois que c'est plutôt parce que je ne comprends pas le principe de la deuxième méthode proposée par @Bisam et @RLC que je dis des bêtises.
@Homo Topi
Ce sujet de Centrale n'est pas trop dur pour moi, je trouve quand même la moitié des questions voir plus. Il serait trop dur si je ne réussissais aucune question. Contrairement aux sujets des ENS, j'ai fait les premières questions assez facilement.
Puis des sujets trop faciles ça sert à quoi au juste ?
Je ne suis pas paumé sur ce fil, il y a un nombre raisonnable d'intervenants.
J'ai résolu la question 6 à ma façon mais on m'a proposé une autre méthode.
C'est pas au bout du 50e pavé méthodologique que y aura un déclic chez Oshine, tu vois bien ses réponses il répond à coté de la plaque
Je ne vois pas le problème de compréhension de la méthode. On évalue juste un polynôme de degré 2n-1 en 2n valeurs pour avoir une égalité.
Et à l'oral, les candidats seraient ensuite départagés non plus seulement sur leur capacité à pisser les théorèmes très vite, mais sur des exercices demandant plus d'intuition, plus de subtilité.
C'est en phase avec ce qu'on voit ici.
Moi je suis beaucoup moins confiant que Homo Topi.
Les concours, c'est comme les jeux olympiques. On se prépare pendant 2 ans ; pendant ces 2 ans, voire 3 ans, on a un objectif unique, être prêt pour le jour J.
Avec ce calendrier, cette préparation, on arrive à son niveau d'excellence le jour J.
Si le jour J, à la fin de cette préparation sur mesure, on n'a pas le niveau pour intégrer telle ou telle grande école, ou pour être quasiment admissible, je vois très mal comment, 10 ans plus tard, en mode touriste, on pourrait faire mieux que ce qu'on n'a pas su faire le jour J.
Certes, ici, l'objectif est de résoudre en 10 ou 20 jours un exercice qu'un taupin est sensé faire en 4 heures. La barre est moins haute.
Mais quand même.
Perso, à 18 ou 20 ans, je savais faire tous les exercices qu'on me soumettait. Dix ans plus tard, après quelques beuveries entre potes et un peu de laisser aller, et un métier à assumer, j'aurais été bien incapable de faire la moitié des exercices en question.
Je suis largement plus fort que quand j'étais en prépa, même en bossant que 30 min de maths par jour. J'ai une meilleur compréhension de plein de choses, et plus de recul.
Oui sûrement mais je fais ces sujets pour apprendre des choses et voir si je suis capable de résoudre des questions seul. Peu importe le temps que je mets, je ne prépare pas un concours d'école d'ingénieur, je ne suis pas un taupin.
Il y a certaines questions que je sais résoudre en 5 min comme la question $9$.
La question 7 j'ai mis 1 minutes pour la résoudre.
Je ne vois pas le lien avec les polynômes interpolateurs de Lagrange :-S.
Soit $B \in \C_{2n-1}[X]$. On pose $P(X)=B(X) -\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k) A(X)}{(X-\alpha_k) A'(\alpha_k)}$
On a $\deg P \leq \max (2n-1,2n-1) \leq 2n-1$. Il suffit de montrer que $P$ possède plus de racines que son degré.
Pour $k \in [|1,2n|]$ je n'ai pas compris comment calculer $P(\alpha_k)$.
Par exemple quelles seraient tes réactions à chaud en lisant ces énoncés :
E1 "Notons Pn l'ensemble des parties de N à n éléments, et P l'ensemble des parties de N. Comme Pn est finie, et que P est l'union dénombrable des Pn, on en déduit que l'ensemble des parties de N est dénombrable"
E2 "Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E. Si pour tout x il existe k un scalaire tel que u(x) = kx, u est une homothétie"
?
Cette première partie de Centrale porte sur le programme de première année.
Les exercices de mon livre MPSI et MP sont bien plus difficiles que ces questions de Centrale. Ceux qui ont une ou deux étoiles sont infaisables à mon niveau. Il y a des exercices des oraux de l'X et de ENS Rennes, ENS ULM.
Je n'ai pas vu le cours sur les ensembles dénombrables encore. J'ai fait une pause dans le cours de MP.
E2 est faux. Le scalaire $k$ dépend du vecteur $x$. Pour que ce soit une homothétie, c'est plutôt il existe un un scalaire $k$ tel que pour tout $x \in E$, $u(x)=k x$.
D'autant plus qu'ici, la proposition est à mon avis vraie.
Je reviens à mon calcul, je ne trouve pas où est mon erreur :-S
J'ai $P(X)=B(X)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (X-\alpha_l)$
Donc $P(\alpha_k)=B(\alpha_k)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (\alpha_k-\alpha_l)$
Comme $A(x)=\displaystyle\prod_{p=1 }^{2n} (X-\alpha_p)$ alors $A'(\alpha_k)=\displaystyle\prod_{p=1 , p \ne k}^{2n} (X-\alpha_p)$
Donc $P(\alpha_k)=B(\alpha_k)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} B(\alpha_k)$
Tu ne vois pas que la mesure est biaisée ? Totalement biaisée ?
Même ça, tu ne le vois pas ?
Oui j'ai écrit n'importe quoi. A force de ténacité, j'ai passé 1 heure dessus, j'ai enfin trouvé.
J'ai compris mon erreur le $k$ est l'indice de la somme donc si je veux calculer $P(\alpha_k)$ pour tout $k$ je dois prendre une autre lettre que $k$.
$P(X)=B(X)-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (X-\alpha_l)$
Soit $j \in [|1,2n|]$.
Donc $P(\alpha_j)=B(\alpha_j)-\displaystyle\sum_{k=1}^{ 2n} \dfrac{B(\alpha_k)}{A'(\alpha_k)} \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} (\alpha_j-\alpha_l)$
Comme $A(x)=\displaystyle\prod_{p=1 }^{2n} (X-\alpha_p)$ alors $A'(\alpha_k)=\displaystyle\prod_{p=1 , p \ne
k}^{2n} (\alpha_k-\alpha_p)$
Donc $\boxed{P(\alpha_j)=B(\alpha_j)-\displaystyle\sum_{k=1}^{ 2n} B(\alpha_k) \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} \dfrac{ (\alpha_j-\alpha_l)}{(\alpha_k-\alpha_l)}}$
Je reconnais maintenant le polynôme d'interpolation de Lagrange. Notons $L_k(\alpha_j)= \displaystyle\prod_{l=1 , l \ne k}^{2n} \dfrac{ (\alpha_j-\alpha_l)}{(\alpha_k-\alpha_l)}$
On sait que $\boxed{L_k(\alpha_j)= \delta_{kj}}$ donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{ 2n} B(\alpha_k) L_k(\alpha_j)=B(\alpha_j)$
Finalement, $P(\alpha_j)=B(\alpha_j) - B(\alpha_j)=0$
$P$ admet $2n$ racines, or il est de degré strictement inférieur à $2n$ donc $P=0$, ce qui permet de conclure.
Tu n'as pas répondu à ma question : un polynôme qui vaudrait 1 en $\alpha_{i}$ et 0 en les autres $\alpha_{j}$.
Je vais être catégorique : ne pas avoir dit "Ah oui bien sûr !" quand j'ai parlé d'interpolation, c'est grave et à corriger.
Et rien que l'inertie sur "k ne peut pas être pris c'est l'indice de la somme" mérite PARTICULIÈREMENT que tu nous montres ta compréhension plus approfondie de la question.
Edit : je viens de voir le dernier message, my bad.
Bon, comme dit Poirot il est inutile d'invoquer les polynômes intetpolateurs pour résoudre la question.
Ce que je voulais simplement que tu remarques, c'est que la formule de la question 6. est tout simplement la formule d'interpolation de Lagrange appliquée à B en les lambda.
En concours on peut passer sans le voir et ça se comprend, mais ici il est très bon de le remarquer. D'autant que c'est une idée qui ne semble pas aller de soi d'interpoler polynomialement un polynôme, et donc surprendre le matheux en nous tous. Mais en fait ça sert à faire de jolies choses en analyse, comme le montre par exemple ce sujet.
Tu nous racontes que tu as progressé et nous fais croire que tu sais faire 50% des questions d'un concours.
Mais à chaque fois tu as le corrigé. Et on ne voit de ta part que la production d'une infime partie des questions du sujet, sûrement pompée du corrigé.
Laisse-nous te donner un sujet dont on espère que tu ne trouveras pas de corrigé.
Et on sera bien surpris de te voir pondre quelque chose.
P.S. Quant à ton évaluation, il y a ici sur ce forum des personnes qui ont certainement des compétences et d'autres qui te suivent depuis plusieurs années (sous les pseudos de @Medhi-128- Ramanudjan et @Oshine) qui te diront que [ton] auto-évaluation est fausse.
Je ne vois pas l'intérêt en plus je ne comprends même pas les corrigés gratuits sur le net.
Oshine, l'intérêt est de te voir faire une vraie rédaction, propre, correcte du premier coup et en un temps déterminé et fixé au préalable, par respect pour ceux qui te liront.
À bientôt.
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Le polynôme $P(X)=\displaystyle\prod_{j=0 , j \ne i}^n \dfrac{X - \alpha_j}{\alpha_i-\alpha_j}$ convient.
On a $P(\alpha_i)=1$ et $P(\alpha_j)$ pour $j \ne i$ vaut $0$.
@Poirot
Je dois juste simplifier le produit sans invoquer Lagrange ?
As-tu essayé $[0,\infty[$ ?
@Os vu que tu es fort dans l'interpolation de Lagrange.
Je te propose ce petit exo avec indication.
On cherche un polynôme $p$ qui vérifie $p(-1)=a;\ p'(-1)=b;\ p(1)=c$ où $a,b,c$ sont 3 réels fixés.
a) Pour cela on considère $0<\epsilon<1$ et on considère le polynôme d'interpolation $p_\epsilon$ qui vérifie
$p_\epsilon(-1)=a, p_\epsilon(-1+\epsilon)=a+b\epsilon, p_\epsilon(1)=c $
Montrer que $p_\epsilon$ converge et déterminer cette limite.
b) Conclure : c'est-à-dire montrer que cette limite répond à la question.
c) La solution trouvée en b est-elle unique ?
Donc tu as normalement bien remarqué que chaque terme de la somme est en gros le polynôme que tu viens de me donner et la formule disait simplement ça.
Je me demande si toutes ces justifications sont utiles :-S
Résolvons $z^{2n}+1=0$ avec $z \in \C$. Posons $z=|z| e^{i \theta}$ avec $\theta$ un argument de $z$.
L'équation s'écrit $|z|^{2n} e^{2n i \theta} = e^{i \pi} \Leftrightarrow \begin{cases}
|z| =1 \\
\exists k \in \Z \ \ 2n \theta = \pi + 2 k \pi
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
|z| =1 \\
\exists k \in \Z \ \ \theta = \dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi }{n}
\end{cases}$
L'ensemble des solutions de $(E)$ est $\mathcal S=\{ \omega_k \ | \ k \in \Z \}$ avec les notations de l'énoncé où $\omega_k=\exp ( i (\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi }{n}))$
Soit $k \in \Z$. La division euclidienne de $k$ par $2n$ permet de trouver $q \in \Z$ et $t \in [|0,2n-1|]$ tels que $k=2nq+t$.
On a alors $\omega_k = \exp ( i (\dfrac{\pi}{2n} +2q \pi + \dfrac{ t \pi }{n}))$
Donc $\omega_k = \exp ( i (\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ t \pi }{n}))$. Ainsi, $\boxed{\mathcal S= \{ \omega_t \ | \ t \in [|0,2n-1|]}$
Vérifions qu'il y a excatement $2n$ racines, c'est-à-dire que les $w_0, \cdots, x_{2n-1}$ sont distincts deux à deux.
Soient $k$ et $l$ deux entiers de $[|0,2n-1|]$.
Si $w_k = w_l$ alors $\dfrac{k \pi}{n} \equiv \dfrac{l \pi}{n} [2 \pi]$. Il existe donc un entier relatif $u$ tel que $\dfrac{k \pi}{n} = \dfrac{l \pi}{n}+2 u \pi$
Soit encore $k -l = 2 u n$
Or $0 \leq k,l \leq 2n-1$ donc $-(2n-1) \leq k-l \leq 2n-1$. Donc $k-l$ ne peut être un multiple de $n$ que si $k=l$.
On a montré que $\boxed{R(X)=\displaystyle\prod_{k=0}^{2n-1} (X-\omega_k)}$ avec $w_0=w_{2n}$ et $w_{2n-1}=w_1$ ce qui fournit finalement :
$\boxed{R(X)=\displaystyle\prod_{k=1}^{2n} (X-\omega_k)}$
A mon avis, c'est du cours à ce niveau (L1) et il n'y a pas besoin de refaire les divisions euclidiennes, les congruences servent à ça.
$2n \varphi_k \equiv \pi [2 \pi]$ pour tout $k\in [|1,2n|]$ donc $\omega_k^{2n}=-1$. Par ailleurs, $(\varphi_k)_{1 \leq k \leq 2n}$ est strictement croissante (suite arithmétique de raison >0) et $\varphi_{2n}-\varphi_1<2\pi$ donc les $\omega_k$ sont tous distincts, ce sont donc les $2n=deg(R)$ racines simples de $R$ unitaire d'où la factorisation.
Vu que tu ne précises pas que $R$ est unitaire, je pourrais presque dire que ta démo est incomplète parce que c'est un argument important quand on cherche à factoriser un polynôme. Tu continues de faire des pavés pour rien, sans les arguments clef mais avec des arguments de bébé pour un concours qui s'adresse à des candidats qui maitrisent à priori très bien leur chapitre de complexes de début de sup. Si tu trouves ma rédaction trop courte, alors interroge-toi...
J'ai adapté le cours à l'exercice car dans mon cours c'est la résolution de $z^n=1$.
@Alexique
Oui j'ai oublié de dire que $R$ est unitaire et ta démonstration me semble plus rapide.
Par contre je ne comprends pas ton argument pour démontrer que les racines sont distinctes.
L'énoncé dit que $Q_{\lambda} \in \C_{2n-1} [X]$ mais je ne comprends pas pourquoi.
Des nombres complexes unitaires d'arguments distincts mais dans un intervalle de longueur $<2\pi$ sont tous distincts... Le premier truc à comprendre quand on fait le cercle trigo aux élèves en 2nd.. et quand on y revient en terminale avec l'argument.
Je trouve ce sujet complètement bof ! En effet à chaque étape on pose la question et
on dit comment il faut faire. Autrement dit on donne la solution.
Il reste à écrire....
Espérons que la suite soit plus passionnante.
Il est très guidé ce qui est bien pour les personnes pas très douées comme moi.
Je garde ton exercice sur Lagrange en réserve je vais le chercher quand j'aurai terminé cette partie.
@Polka
Oui ma question était bête.
Question $10$ :
Le polynôme $R$ est scindé à racines simples, et ses racines sont $w_0, \cdots, w_{2n}$.
Le polynôme $Q_{\lambda}$ appartient à $\C_{2n-1} [X]$, on a d'après la question $Q6$ :
$Q_{\lambda} (X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ Q_{\lambda} (w_k) R(X)}{ (X-w_k) R'(w_k)}$
Mais $R'(X)=2n X^{2n-1}$ donc $R'(w_k)=2n (w_k)^{2n-1}=-2n \dfrac{1}{w_k}$ et $Q(w_k)=\dfrac{ P(\lambda w_k)- P(\lambda)}{w_k -1}$, ainsi :
$\boxed{Q_{\lambda} (X)=- \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ P(\lambda w_k)- P(\lambda)}{w_k -1} \dfrac{X^{2n+1}}{X-w_k} w_k}$
D'après Q8, on a $\lambda P'(\lambda)= Q_{\lambda} (1)$. Or $Q_{\lambda} (1)=- \dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{ P(\lambda w_k)- P(\lambda)}{w_k -1} \dfrac{2}{1-w_k} w_k$ ce qui permet de conclure immédiatement en développant.
Question $11$ :
Je ne comprends pas l'indication.
Cette somme apparait dans 1.2. Il suffit d'appliquer 1.2
avec le polynôme indiqué et une valeur de $\lambda$ bien choisie
On veut calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{2 w_k}{ (1-w_k)^2}$.
Soit $P(X)=X^{2n}$. Alors pour $\lambda=1$, d'après (I.2) on a $\lambda P'(\lambda)= 2n \lambda^{2n-1} =2n$ donc :
$- \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{w_k}{(1-w_k)^2} = 2n$ d'où : $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{2 w_k}{ (1-w_k)^2} = -2n^2}$
Ainsi, $- \dfrac{ P(\lambda)}{2n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{2 w_k}{ (1-w_k)^2} = - \dfrac{ P(\lambda)}{2n} (-2n^2)=P(\lambda) n$ ce qui donne le résultat voulu.
Calculer $\quad\displaystyle \sum_{k=1}^{2 n} \dfrac{\omega_k}{(1-\omega_k)^3}.$
Soit $f \in \delta_n$. Alors $\exists (a_0, \cdots, a_n) \in \C^{n+1}$ et $\exists (b_1, \cdots, b_n) \in \C^n$ tels que $\forall t \in \R \ \ f(t)=a_0+ \displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k \cos(kt)+ b_k \sin(kt) )$
On cherche $U \in \C_{2n} [X]$ tel que $\forall \theta \in \R \ \ a_0+ \displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k \cos(k \theta)+ b_k \sin(k \theta) )= e^{-i n \theta} U(e^{i \theta})$
On a $\forall \theta \in \R \ f(\theta)=a_0+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \dfrac{ e^{i k \theta}+ e^{-i k \theta}}{2} + b_k \dfrac{ e^{i k \theta}- e^{-i k \theta}}{2i} $
Après je coince.
On reprend les conseils qu'on te donne depuis des millénaires : essayer sur des exemples, sortir la tête du guidon...
Allez va donc plutôt que critiquer le major de l'agreg.
D'ailleurs je n'ai pas encore cherché mais mon flair me dit que j'y arriverai....
Concernant Q12 . Franchement tu fais preuve d'aveuglement. Tu multiplies par
$exp(i n \theta)$ et tu développes et c'est plié.
Il faut faire comme RLC et bien d'autres, prendre les choses avec plus de détachement :-)