arctan1+arctan3+arctan5+arctan7+arctan8=360°

Fibonacci
Fibonacci
dans Analyse
Bonjour j'ai montré, par calcul vectoriel, que
$$\arctan1 + \arctan3 + \arctan5 + \arctan7 + \arctan8 = 360° .
$$ Puis-je savoir si depuis ce que j'écris, sans aucun commentaire, vous pouvez comprendre la preuve ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Eric
    Eric
    La rédaction n'est pas une option.
  • gerard0
    gerard0
    Je confirme ! On ne sait pas où est la preuve.

    Cordialement.
  • Fibonacci
    Fibonacci
    Merci .. je le ferai dès que j'aurai un peu de temps

    a+

    Fibonacc
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Sinon, le prouver par le calcul fait moins de 10 lignes.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonsoir

    comme dit Frédéric le calcul du premier membre demande 4 lignes :

    Arctan 1 + Arctan 3 = Arctan 4/(-2) = - Arctan 2

    Arctan 5 + Arctan 7 = Arctan12/(1-35) = - Arctan 6/17

    et Arctan 8 - Arctan 2 = Arctan 6/17

    et Arctan 6/17 - Arctan 6/17 = 0° à 360° près d'où le résultat

    Cordialement
  • Fibonacci
    Fibonacci
    Bonjour, j'ai construit les angles alpha = arctan8, beta = arctan7, gamma arctan5, delta arctan3 et eta. Je dois prouver que eta = arctan1. En partant du vecteur OC, je construis successivement les vecteurs OD, DE, OE, OF, FG, OG, OH, HI et enfin OI... Le point I se situe sur la droite d'équation y = x, donc eta = arctan1, et la relation est prouvée.126498
  • cailloux
    cailloux
    Bonjour,

    $$(1+i)(1+3i)(1+5i)(1+7i)(1+8i)=1300$$
  • Fibonacci
    Fibonacci
    Bonjour, je voulais faire une démonstration géométrique et non une simple vérification. Dans ce cas, j’aurais résolu la question dans une ligne avec cette formule que j’ai trouvée.
    $\arctan a+\arctan b+\arctan c+\arctan d+\arctan\dfrac{(a+b)(cd-1)+(c+d)(ab-1)}{(ab-1)(cd-1)-(c+d)(a+b)}=360°$

    $a=3,\ b=5,\ c=7,\ d=8,$
    $ \arctan\dfrac{(a+b)(cd-1)+(c+d)(ab-1)}{(ab-1)(cd-1)-(c+d)(a+b)}=\arctan\dfrac{8\cdot55+15\cdot14}{14\cdot55- 15\cdot8}=\arctan\dfrac{650}{650}=\arctan 1$
    Merci
    a+
    Fibonacci
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonjour.

    N'y aurait-il pas un souci concernant la formule donnée ?

    $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

    À bientôt.

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  • cailloux
    cailloux
    Bonsoir Fibonacci,

    Il ne s'agissait pas d'une "simple vérification" mais d'une véritable démonstration.
    Je conçois qu'elle ne te plaise pas mais cependant, la géométrie (du plan d'Argand) est belle et bien là.
  • Hector38
    Hector38
    La relation à démontrer, ainsi présentée, n’à pas de sens : le membre de gauche somme d’arc tangentes s’exprimé en radians, le membre de droite en degrés. Pourquoi pas en grades !
  • AP
    AP
    Bonjour
    Il faut effectivement remplacer le 360° de la question initiale par $2\pi$.

    $\arctan(1)+\arctan(3)$ n'est pas $\arctan(-2)$ mais $\arctan(-2)+\pi$
    puisque $\arctan(a)+\arctan(b)=\arctan(\frac{a+b}{1-ab})+k\pi$, ($\ k=-1$ ou $0$ ou $1$) cela si $ab$ n'est pas $1$ sinon il faut utiliser la formule donnant $\arctan(1/a)$ en fonction de $\arctan(a)$
    $\arctan(5)+\arctan(7)=\arctan(-6/17)+\pi$
    $\arctan(-2)+\arctan(-6/17)=\arctan(-8)$
    Ce qui donne le résultat demandé : la somme $S$  des cinq $\arctan$ est bien $2\pi$.

    Remarque : à mon avis le fait que
    $(1+i)(1+3i)(1+5i)(1+7i)(1+8i)=1300$ ne donne pas $S=2\pi$ mais $S=2k\pi$,  $1300$ étant un réel positif.
  • cailloux
    cailloux
    Bonjour AP,
    Remarque : à mon avis le fait que
    $(1+i)(1+3i)(1+5i)(1+7i)(1+8i)=1300$ ne donne pas $S=2\pi$ mais $S=2k\pi$,  $1300$ étant un réel positif.

    Qui a dit le contraire ? Pas moi : je ne proposais qu'une piste à affiner (et l' "affinage" est très simple).
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