Question sur les équations différentielles
Considérons l'équation différentielle $$ x '' = (t ^ 2 + 1) x '+ x + \cos t.
$$ Une seule des affirmations suivantes est fausse, laquelle ?
a) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0.
b) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0, x'(0) = 0 et x' '(0) = 0.
c) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0 et x'(0) = 0.
d) toutes les solutions de l'équation maximale sont définies sur tout R.
P.S. J'ai continué à étudier pour éliminer la rouille mais sur les équations différentielles je suis au début. Merci d'avance.
Les réponses précédentes m'ont été très utiles.
a+
Fibonacci
$$ Une seule des affirmations suivantes est fausse, laquelle ?
a) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0.
b) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0, x'(0) = 0 et x' '(0) = 0.
c) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0 et x'(0) = 0.
d) toutes les solutions de l'équation maximale sont définies sur tout R.
P.S. J'ai continué à étudier pour éliminer la rouille mais sur les équations différentielles je suis au début. Merci d'avance.
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Fibonacci
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Réponses
Pour voir que d) est juste, il faut s'y connaître un peu plus, mais si tu as vu Cauchy-Lipschitz linéaire dans sa version "précisée", l'équation étant linéaire, les solutions sont globales et donc effectivement ici définies sur $\R$
Je suis embêté car moi moi b) est fausse aussi, en faisant $t=0$ dans l'équation il y a une contradiction car $\cos(0)=1$ (donc là c'est l'existence qui pèche).
Je pense donc que l'énoncé est faux
Je vous remercie beaucoup.
a+
Fibonacci
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Merci beaucoup, c'est maintenant très clair.
a+