Question sur les équations différentielles

Fibonacci
Fibonacci
dans Analyse
Considérons l'équation différentielle $$ x '' = (t ^ 2 + 1) x '+ x + \cos t.
$$ Une seule des affirmations suivantes est fausse, laquelle ?
a) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0.
b) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0, x'(0) = 0 et x' '(0) = 0.
c) l'équation admet une seule solution maximale telle que x (0) = 0 et x'(0) = 0.
d) toutes les solutions de l'équation maximale sont définies sur tout R.

P.S. J'ai continué à étudier pour éliminer la rouille mais sur les équations différentielles je suis au début. Merci d'avance.
Les réponses précédentes m'ont été très utiles.
a+
Fibonacci

Réponses

  • math2
    math2
    La première est visiblement fausse sur l'aspect unicité.
  • math2
    math2
    Pour la suite, c) est visiblement juste (toujours le théorème de Cauchy-Lipschitz).

    Pour voir que d) est juste, il faut s'y connaître un peu plus, mais si tu as vu Cauchy-Lipschitz linéaire dans sa version "précisée", l'équation étant linéaire, les solutions sont globales et donc effectivement ici définies sur $\R$

    Je suis embêté car moi moi b) est fausse aussi, en faisant $t=0$ dans l'équation il y a une contradiction car $\cos(0)=1$ (donc là c'est l'existence qui pèche).

    Je pense donc que l'énoncé est faux
  • math2
    math2
    Pour le point a) je n'ai sans doute pas été clair. Le théorème de CL t'assure l'existence et l'unicité d'une solution maximale telle que $x(0)=a$ et $x'(0)=b$, et ce pour tout $(a,b)\in \R^2$. Ici tu fixes $a=0$, mais tu as une infinité de choix de $b$, qui donneront des solutions différentes.
  • Fibonacci
    Fibonacci
    Merci pour votre réponse rapide. Puis-je avoir des détails sur ce que vous avez écrit à propos de a?
    Je vous remercie beaucoup.
    a+
    Fibonacci
  • math2
    math2
    Nos messages se sont peut-être croisés ?
  • Fibonacci
    Fibonacci
    math2 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2296560,2296572#msg-2296572
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Merci beaucoup, c'est maintenant très clair.
    a+
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