$52!=80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000$ et
$10^{68}=10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$.
la calculatrice donne:
$|10^{68}-52!|=19341824829056121428339363143596233024710494559116722176000000000000$
Si on parle de distances interstellaire en m oui c'est proche.
Est-ce qu’en enlevant les zéros à droite de $n!$ on obtient un entier « regardable ».
Je donne des exemples :
69998899 est « regardable »
6174193618 n’est pas « regardable ».
Je n’ai pas de définition…
Ensuite, avec le même procéder (retirer les zéros de $n!$) on obtient un entier du genre 999999…. ou 98999…. ? C’est à dire un truc qui se rapproche (on y revient !) d’une puissance de $10$.
Je suis dans le on ne peut plus vague, évidemment…
Tiens une idée :
D’ailleurs, peut-on isoler les $n!$ dont le premier chiffre est 9 ?
Sont-ils en nombre infini ?
Puis ceux dont les deux premiers chiffres sont 99 ? Dénombrables ?
Etc.
Ça serait intéressant en effet. Il y a tellement d'acception pour proche: o, O, $\sim$... Il faudrait faire de la physique car ils ont une bonne notion de la notion de proche suivant l'échelle.
Conjecture à réfuter ou démontrer(Pablo tu pourra m'aider?): Pour tout $\epsilon$ positif et pour tout a strictement supérieur à 1, On trouvera des entiers n et x tel que tel que $x-\epsilon<Log_{a} (n!)<x+\epsilon$
Prenons un nombre comme 2800.
Je ne sais pas combien vaut 2800! , est-ce que le premier chiffre est un 2 , un 3 ... ?
Mais je sais que parmi les 20 nombres suivants (2801! ... 2820!), il y en a au moins 1 qui commence par un 8 ou un 9.
Il y a d'ailleurs un résultat,connu, qui donne la proportion de nombres commençant par 1, par 2 ... par 9 dans toute série '''statistique'''. Je connais la nature de ce résultat, mais je ne me souviens plus du nom.
Edit : En regardant les liens de Dom, je vois que 2800! commence par un 1, et 2813! commence par un 9. Et donc 2800! commence par un nombre entre 133 et 148.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
35! est plus proche d'une puissance de 10 (la quarantième, et juste d'un peu plus de 3%) que 52! n'est proche de la puissance de 10 correspondante.
Dans une moindre mesure, 27! est aussi proche d'une puissance de 10.
A moins d'une coïncidence numérique, vu la croissance de la factorielle il est peu probable qu'on ait quelque chose de 'proche' d'une puissance de 10 dans l'absolu.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Parmi toutes les factorielles, quelle est la plus proche d'une puissance de $10$ ?
Interprétation 1 : La plus proche en valeur absolue : Ce nombre est atteint relativement tôt. Dès $5!$, toutes les factorielles sont des multiples de 3, et de 10, puis des multiples de 3 et de $10^k$, avec k de plus en plus grand.
Entre un nombre multiple de $3 \times 10^k$ , et une puissance de 10 ($10^p$ avec p>k), la différence est un multiple non nul de $10^k$.
Donc plus on regarde des nombres grands, plus on a la certitude de ne pas trouver des différences petites.
Parmi toutes les factorielles la plus proche d'une puissance de 10, c'est 1! qui est une puissance de 10, puis $3!$
Interprétation 2 : La plus proche en pourcentage.
Conjecturons !
Pour tout réel $\epsilon > 0 $ , il existe un couple d'entiers $(n,p)$ tel que $\dfrac{n!}{10^p}$ soit dans l'intervalle $]1-\epsilon, 1+\epsilon[ $
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Lourrran, pour ta première interprétation, il me semble que tu oublies la plupart des nombres premiers (7, 11, 13,...) ainsi que leurs puissances respectives (9 est une puissance de 3, le facteur 3 n'est donc pas unique, contrairement à ce que ta représentation laisse entendre).
J'ai surtout mis 7, 11 et 13 en évidence car leur produit est très proche d'une puissance de 10, ce qui n'est pas évident de prime abord.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Lourran : je propose un peu mieux "la suite $(\{\log_{10}(n!)\})_n$ est dense dans $[0;1]$", on peut a priori pousser encore un peu plus en disant "la suite $(\{\log_a(n!)\})_n$ est dense dans $[0;1]$", ce qui répond à déjà pas mal de questions de ce fil. Indication (en blanc) : commencer par démontrer que $\color{white}(\{\log_a(n)\})_n$ est dense dans $[0;1]$.
Est-elle équirépartie ? Je crois que je ne connais pas la réponse à cette question.
Par contre pour la question de Poirot aucune idée, j'aurais tendance à dire que $\lim n! - 10^{\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor}=+\infty$ mais c'est une simple intuition.
Poirot,
Loi de Benford, oui, c'est exactement ça. Peut-être que je vais finir par retenir son nom !
Dreamer
Je n'oublie pas les autres nombres qui interviennent dans la décomposition de $n!$, je dis juste que $n!$ est un multiple de $3$, et un multiple de $10^k$, avec $k$ éventuellement assez grand.
Par exemple pour $33!$, on a $5 , 10, 15, 20 , 25, 30$ comme facteurs, donc $33!$ est divisible par $5^7$ ... et par suite, divisible par $3*10^7$.
Et donc, tous les $k!$, avec $k>33$, sont aussi des multiples de $3*10^7$.
Je suis bien conscient qu'ils ont plein d'autres diviseurs, mais déjà, le fait d'être multiple de $3*10^7$, ça empêche tous ces nombres d'être à une distance inférieure à $10^7$ d'une puissance de $10$.
Et on peut le généraliser, l'étendre même ...
Soit un entier $k$ donné ($k=10$ jusque là, mais on peut prendre $k$ quelconque).
On définit la suite $u$ ainsi : $u(n) = \min_i \big(abs(n! -k^i) \big) $.
En d'autres mots, pour un entier $n$, on recherche la puissance de $k$ la plus proche possible de $n!$, et on calcule la différence entre $n!$ et $k^i$, en valeur absolue.
Cette suite $u$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Réponses
J’ai une mauvaise calculatrice qui me donne environ $8,06 \times 10^{67}$.
Mais est-ce « proche » de $10^{68}$ ?
proche c'est vaste non?
$52!=80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000$ et
$10^{68}=10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$.
la calculatrice donne:
$|10^{68}-52!|=19341824829056121428339363143596233024710494559116722176000000000000$
Si on parle de distances interstellaire en m oui c'est proche.
On défini pour tout $n\in\N: u_{n}=|10^n-n!|$. Donner un équivalent de $u_{n}$ lorsque $n\longrightarrow+\infty$
(message en même temps
(c'est du $ax^2+bx+c$)
Je donne des exemples :
69998899 est « regardable »
6174193618 n’est pas « regardable ».
Je n’ai pas de définition…
Ensuite, avec le même procéder (retirer les zéros de $n!$) on obtient un entier du genre 999999…. ou 98999…. ? C’est à dire un truc qui se rapproche (on y revient !) d’une puissance de $10$.
Je suis dans le on ne peut plus vague, évidemment…
Tiens une idée :
D’ailleurs, peut-on isoler les $n!$ dont le premier chiffre est 9 ?
Sont-ils en nombre infini ?
Puis ceux dont les deux premiers chiffres sont 99 ? Dénombrables ?
Etc.
https://oeis.org/A008905/b008905.txt
Je ne sais pas combien vaut 2800! , est-ce que le premier chiffre est un 2 , un 3 ... ?
Mais je sais que parmi les 20 nombres suivants (2801! ... 2820!), il y en a au moins 1 qui commence par un 8 ou un 9.
Il y a d'ailleurs un résultat,connu, qui donne la proportion de nombres commençant par 1, par 2 ... par 9 dans toute série '''statistique'''. Je connais la nature de ce résultat, mais je ne me souviens plus du nom.
Edit : En regardant les liens de Dom, je vois que 2800! commence par un 1, et 2813! commence par un 9. Et donc 2800! commence par un nombre entre 133 et 148.
35! est plus proche d'une puissance de 10 (la quarantième, et juste d'un peu plus de 3%) que 52! n'est proche de la puissance de 10 correspondante.
Dans une moindre mesure, 27! est aussi proche d'une puissance de 10.
A moins d'une coïncidence numérique, vu la croissance de la factorielle il est peu probable qu'on ait quelque chose de 'proche' d'une puissance de 10 dans l'absolu.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Interprétation 1 : La plus proche en valeur absolue : Ce nombre est atteint relativement tôt. Dès $5!$, toutes les factorielles sont des multiples de 3, et de 10, puis des multiples de 3 et de $10^k$, avec k de plus en plus grand.
Entre un nombre multiple de $3 \times 10^k$ , et une puissance de 10 ($10^p$ avec p>k), la différence est un multiple non nul de $10^k$.
Donc plus on regarde des nombres grands, plus on a la certitude de ne pas trouver des différences petites.
Parmi toutes les factorielles la plus proche d'une puissance de 10, c'est 1! qui est une puissance de 10, puis $3!$
Interprétation 2 : La plus proche en pourcentage.
Conjecturons !
Pour tout réel $\epsilon > 0 $ , il existe un couple d'entiers $(n,p)$ tel que $\dfrac{n!}{10^p}$ soit dans l'intervalle $]1-\epsilon, 1+\epsilon[ $
wolfram t’as les décimales de 2800!
Pour 2813!
Lourrran, pour ta première interprétation, il me semble que tu oublies la plupart des nombres premiers (7, 11, 13,...) ainsi que leurs puissances respectives (9 est une puissance de 3, le facteur 3 n'est donc pas unique, contrairement à ce que ta représentation laisse entendre).
J'ai surtout mis 7, 11 et 13 en évidence car leur produit est très proche d'une puissance de 10, ce qui n'est pas évident de prime abord.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
j'ai calculé 52! avec la formule de Stirling soit $8,052902038X10^{67}$
je soustrais cette grandeur à $10^{68}$ et je divise par $10^{68}$
j'obtiens une erreur relative de 0,1947097962....soit presque 20 %
l'approximation n'est pas acceptable
Cordialement
Est-elle équirépartie ? Je crois que je ne connais pas la réponse à cette question.
Par contre pour la question de Poirot aucune idée, j'aurais tendance à dire que $\lim n! - 10^{\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor}=+\infty$ mais c'est une simple intuition.
Loi de Benford, oui, c'est exactement ça. Peut-être que je vais finir par retenir son nom !
Dreamer
Je n'oublie pas les autres nombres qui interviennent dans la décomposition de $n!$, je dis juste que $n!$ est un multiple de $3$, et un multiple de $10^k$, avec $k$ éventuellement assez grand.
Par exemple pour $33!$, on a $5 , 10, 15, 20 , 25, 30$ comme facteurs, donc $33!$ est divisible par $5^7$ ... et par suite, divisible par $3*10^7$.
Et donc, tous les $k!$, avec $k>33$, sont aussi des multiples de $3*10^7$.
Je suis bien conscient qu'ils ont plein d'autres diviseurs, mais déjà, le fait d'être multiple de $3*10^7$, ça empêche tous ces nombres d'être à une distance inférieure à $10^7$ d'une puissance de $10$.
Et on peut le généraliser, l'étendre même ...
Soit un entier $k$ donné ($k=10$ jusque là, mais on peut prendre $k$ quelconque).
On définit la suite $u$ ainsi : $u(n) = \min_i \big(abs(n! -k^i) \big) $.
En d'autres mots, pour un entier $n$, on recherche la puissance de $k$ la plus proche possible de $n!$, et on calcule la différence entre $n!$ et $k^i$, en valeur absolue.
Cette suite $u$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.