Continuité uniforme

Z&non
Z&non
dans Analyse
Bonsoir, ça fait pratiquement des heures que je n'arrive pas à résoudre cet exercice.

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R_{+}}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que $f$ soit uniformément continue sur $\mathbb{R_{+}}$.
Montrer qu'il existe $(a,b) \in \mathbb{R^2}$, pour tout $x \in \mathbb{R_{+}}$, $f(x) \leq ax+b$.

Par définition.
Pour tout $\epsilon>0$, il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R_{+}^2},\quad( |x-y| \leq \alpha\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon).$
Mon idée.
Je me dis qu'on peut écrire $\mathbb{R_{+}}$ comme une réunion dénombrable d'intervalles dont les intervalles sont de la forme $[n\alpha,(n+1)\alpha]$. Mais je suis coincé ; je ne vois pas la suite.
J'aimerais juste une indication.
Merci.

Réponses

  • Z&non
    Z&non
    On peut majorer $f$ sur chaque intervalle $[n\alpha,(n+1)\alpha]$, mais est-ce suffisant?
    En utilisant le théorème des bornes atteintes je pense...
  • Math Coss
    Math Coss
    Choisissons $\epsilon=1$ et fixons un $\alpha$ comme dans la définition.

    Pour $x$ réel positif, soit $n$ l'entier tel que $x\in\left[n\alpha,(n+1)\alpha\right[$ (existence ? unicité ? valeur en fonction de $x$ ?) et soit $x_0=x-n\alpha$. Où vit $x_0$ ? Que peut-on dire de $|f(0)-f(x_0)|$ ? Que peut-on dire de $|f(x_0)-f(x_0+\alpha)|$ ? de $|f(x_0+\alpha)-f(x_0+2\alpha)|$ ? de $|f(x_0+2\alpha)-f(x_0+3\alpha)|$ ? de $|f(x_0+(n-1)\alpha)-f(x_0+n\alpha)|$ ? et donc de $|f(0)-f(x_0+n\alpha)|$ ? Au fait, que vaut $x_0+n\alpha$ ?
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Bonjour, $f=x$ sur $[1,e]$ et $x\ln(x)$ sur $]e,+\infty]$ est lipschitzienne et a pour équivalent à l'infini $x\ln(x)>>ax+b$ donc le théorème est faux.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Melchior
    Melchior
    @AlainLyon
    Une fonction $k$-lipschitzienne et dérivable sur un intervalle $I$ a sa dérivée bornée par $k$ sur $I$ puisque pour $x$ et $y$ deux points distincts de $I$,
    \[
    \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \leq k.

    \] La dérivée de la fonction $x \mapsto x \ln x$ étant la fonction $x \mapsto \ln x +1$ qui n'est pas bornée sur $]e,+\infty[$, votre fonction initiale n'est pas lipschitzienne sur cet intervalle.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Exact j'ai écrit une bêtise, $f$ est seulement localement lipschitzienne ce qui n'est pas suffisant pour la continuité uniforme. Je suggère pour $y\ge x$

    $f(y)/y=(f(y)-f(x))/y+f(x)/y<(f(y)-f(x))/(y-x)+f(x)/y<(f(y)-f(x))/(y-x)+f(x)/x$
    donc $f(y)/y-f(x)/x<(f(y)-f(x))/(y-x)$ ce qui prouve la continuité de $x\rightarrow f(x)/x$ et en faisant tendre $y$ vers $x$ la dérivabilité de $f$. Ensuite on doit pouvoir prouver que $f'$ est bornée en étudiant $(f(x)-f(y))/(y-x)$ et utilisant l'uniforme continuité de $f$.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Amédé
    Amédé
    Bonjour, en encre sympathique.

    Par définition de l'uniforme continuité:

    $\exists \alpha>0$ tel que $\forall (x,y)\in\R_{+}^{2}:(|x-y|\leq\alpha\Longrightarrow|f(x)-f(y)|\leq 1$

    Soit $x\in\R_{+}$. La suite $\dfrac{x}{n}$ tend vers $0$. L'ensemble $E=\{n\in\N:\dfrac{x}{n}<\alpha\}$ est donc non vide et minoré. Soit $n_{0}$ le plus petit élément de $E$. $n_{0}=E\left(\dfrac{x}{\alpha}\right)+1$.

    $\forall 0\leq k\leq n_{0}-1$ on a $|f(x)|-|f(0)|\leq|f(x)-f(0)|=\left|\sum\limits_{k=0}^{n_{0}-1}{f\left(\dfrac{(k+1)x}{n_{0}}\right)-f\left(\dfrac{kx}{n_{0}}\right)}\right|\leq\sum\limits_{k=0}^{n_{0}}{\left|f\left(\dfrac{(k+1)x}{n_{0}}\right)-f\left(\dfrac{kx}{n_{0}}\right)\right|}\leq n_{0}\leq\dfrac{x}{\alpha}+1$.

    $\alpha$ est indépendant de $x$. Donc $\forall x\in\R_{+}$ on a $|f(x)|\leq \dfrac{x}{\alpha}+1+|f(0)|$
  • Z&non
    Z&non
    Bonsoir
    Merci à tous pour vos réponses.
    Je regarderai l'indice de Math Coss.
    Amédé, peux-tu cacher ta preuve stp ? J'ai décidé de ne pas la regarder, je préfère sécher sur mon exercice.
    [La preuve est maintenant cachée. AD]
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