Une intégrale intéressante

Bonjour,
j'ai essayé de calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x^2) dx$ , voilà comment je m'y suis pris.
$$\ln(1+x^2)=\ln(x-i)+\ln(x+i) \\
\int_0^1 \ln(x-i) dx+\int_0^1 \ln(x+i) dx=[(x-i)\ln(x-i)-x]_0^1 +[(x+i)\ln(x+i)-x]_0^1 \\
[(x-i)\ln(x-i)-x]_0^1 +[(x+i)\ln(x+i)-x]_0^1=-i \ln(-i)+i \ln(i)+\ln(1-i)+\ln(1+i)+i \ln(1+i) -i \ln(1-i)-1-1\\
-i \ln(-i)+i \ln(i)+\ln(1-i)+\ln(1+i)+i \ln(1+i) -i \ln(1-i)-1-1=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\ln(2)+i \ln(\frac{1+i}{1-i})-2+2k \pi=\\
\ln(2)-\pi-2+i \ln(i)+2k \pi=\ln(2)-\frac{3\pi}{4}-2+2k\pi.
$$ Maintenant il faut trouver le bon $k$. il est évident que le seul $k$ possible est $k=1$ car
$0<\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x^2) dx <\ln(2)$ et $2^2>3\ ;\ \sqrt{3}<2\ ;\ \sqrt{e}<2\ ;\ \ln(2)>0.5$
$3<\pi<4\ ;\ 1.5<\frac{\pi}{2}<2\ ;\ 0<2-\frac{\pi}{2}<0.5$
$ 2^2>3\ ;\ \sqrt{3}<2\ ;\ \sqrt{e}<2\ ;\ \ln(2)>0.5\ ;\ 0<2-\frac{\pi}{2}<\ln(2)$
$$0<\ln(2)-2+\frac{\pi}{2}<\ln(2).

$$ On à donc finalement:
$\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x^2) dx=\ln(2)+\frac{\pi}{2}-2$

Question 1) peut-on faire plus simple ?
Question 2) Me suis-je trompé dans mes calculs ?

PS. J'ai essayé d'être le plus rigoureux possible. :-)

Édit. Merci à Raoul.S pour m’avoir signalé l’erreur de copie. :-)