Équation fonctionnelle

Bonjour
1/ Déterminer les fonctions $f$ de $[0;+\infty[$ dans $\R$ dérivables telles que pour tout $x>0$ , $$f'(x)=-3f(x)+6f(2x). \qquad (*)

$$ 2/ Dans les hypothèses de Putnam 1989 B3 figurait : on suppose pour tout $x\geq 0$, $|f(x)| \leq \exp(-\sqrt{x}) .\qquad (**) $

Donner un exemple de $f$ qui vérifie $(**)$

Autre question existe-t-il des fonctions qui vérifient $(*)$, sans que $(**)$ soit vérifié ?

Pour information cette équation fonctionnelle a été utilisé dans Putnam 1989 B3 pour une autre question mais on ne demandait pas de déterminer les fonctions $f$ qui vérifient $(*)$
Putnam 1989 B3
Merci