Outil mathématique : "changement de variable"
Bonjour
C'est quoi le changement de variable (comme un outil mathématique) rigoureusement ? intuitivement ?
Y a-t-il une relation entre le changement de variable et la composition des fonctions ? le changement des coordonnés ?
Quand je peux dire j'ai fait un changement de variable ?
et
Quand je peux dire j'ai fait une composition de fonction ?
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0_{\mathbb{R}^2}} \dfrac{1 - \cos(xy) }{ (xy)²} .\quad$ On pose $\forall (x,y) \in {\mathbb{R}^2},\ u(x,y) = xy ,\ w=u(x,y) \quad$ (c'est la même chose quand on écrit $ u=xy$ sauf que l'autre est plus rigoureuse ?)
Comme $\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0_{\mathbb{R}^2}} u(x,y) = 0, \quad $ ($ u \rightarrow 0 $ quand $ (x,y)\rightarrow (0,0) $),
et comme $\displaystyle \lim_{w \to 0} \dfrac{1 - \cos(w) }{ w^2} = \dfrac {1}{2}, \quad$ c'est juste d'écrire $\lim_{u \to 0} \dfrac{1 - \cos(u) }{ u^2} ,\ \lim_{u(x,y) \to 0} \dfrac{1 - \cos(u(x,y)) }{ u(x,y)^2} $ ?
Alors $\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0_{\mathbb{R}^2}} \dfrac{1 - \cos(xy) }{ (xy)^2} = \dfrac {1}{2} .$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {e^\frac {1}{x} -1 } { \frac {1}{x}}$ , on pose $X=\dfrac 1 x,\ X \to 0 $ quand $ x \to +\infty,\quad $ $\displaystyle \lim_{X \to 0} \dfrac {e^X -1 } { X} = 1.$
$ \alpha \in [1,5] $ équivalent à dire $ \dfrac {1}{\alpha} \in [0.2 , 1] $ ...
PS : j'aimerais bien savoir quand il s'agit d'un abus de langage ou de notation utile !
Merci d'avance.
C'est quoi le changement de variable (comme un outil mathématique) rigoureusement ? intuitivement ?
Y a-t-il une relation entre le changement de variable et la composition des fonctions ? le changement des coordonnés ?
Quand je peux dire j'ai fait un changement de variable ?
et
Quand je peux dire j'ai fait une composition de fonction ?
$\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0_{\mathbb{R}^2}} \dfrac{1 - \cos(xy) }{ (xy)²} .\quad$ On pose $\forall (x,y) \in {\mathbb{R}^2},\ u(x,y) = xy ,\ w=u(x,y) \quad$ (c'est la même chose quand on écrit $ u=xy$ sauf que l'autre est plus rigoureuse ?)
Comme $\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0_{\mathbb{R}^2}} u(x,y) = 0, \quad $ ($ u \rightarrow 0 $ quand $ (x,y)\rightarrow (0,0) $),
et comme $\displaystyle \lim_{w \to 0} \dfrac{1 - \cos(w) }{ w^2} = \dfrac {1}{2}, \quad$ c'est juste d'écrire $\lim_{u \to 0} \dfrac{1 - \cos(u) }{ u^2} ,\ \lim_{u(x,y) \to 0} \dfrac{1 - \cos(u(x,y)) }{ u(x,y)^2} $ ?
Alors $\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0_{\mathbb{R}^2}} \dfrac{1 - \cos(xy) }{ (xy)^2} = \dfrac {1}{2} .$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {e^\frac {1}{x} -1 } { \frac {1}{x}}$ , on pose $X=\dfrac 1 x,\ X \to 0 $ quand $ x \to +\infty,\quad $ $\displaystyle \lim_{X \to 0} \dfrac {e^X -1 } { X} = 1.$
$ \alpha \in [1,5] $ équivalent à dire $ \dfrac {1}{\alpha} \in [0.2 , 1] $ ...
PS : j'aimerais bien savoir quand il s'agit d'un abus de langage ou de notation utile !
Merci d'avance.
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Réponses
Il y a effectivement un lien entre changement de variable et fonction, les nouvelles variables étant généralement fonction des anciennes. Mais pas toujours (quand on pose x=t², sans préciser de domaine pour t). Mais la notion est tellement vaste, appliquée à tant de domaines, qu'il n'est pas nécessaire d'en faire une théorie; sous peine d'oublier des usages.
Sinon, une remarque : Quand tu écris $u(x,y) = xy ,\ w=u(x,y)$, tu écris bien $w=xy$ (transitivité de $=$), et c'est ce que tu utilises, finalement. Donc le passage par $u(x,y)$ ne sert à rien !!
Cordialement.
La question que je me pose maintenant :
Dans le cas où $x$ et $y$ sont fixés $u(x,y)$ est une constante , dans le cas contraire $u(x,y)$ est une variable ?
Quand on écrit $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ , $(x,y)$ est une variable
Alors que quand on écrit $\lim_{u \to 0} f(u)$, $u$ ici est le nom d'une fonction , une chose que je la trouve bizarre car $u$ ce n'est pas un variable ?
Tu accordes trop d'importance à ce mot de "variable", qui ne sert, généralement, qu'à distinguer les noms d'objets parfaitement précis (les constantes) et les noms d'objets non parfaitement déterminés, en particulier les objets génériques ("soit f une fonction numérique"; "f" est une variable). Mais le mot "constante" est aussi utilisé pour des variables auxquelles on ne s'intéresse pas particulièrement (F=mg : si on est dans un lieu fixe, g est une constante. Pour un géodésiste, non.
Ton message semble mélanger le $u$ de $u(x,y)$ qui désigne une fonction de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ avec le $u$ de $\lim_{u \to 0} f(u)$ qui désigne autre chose. Et je n'ai pas compris pourquoi tu parles de constantes pour $x$ et $y$, alors que tu es dans une situation où ce sont naturellement des variables (voir la définition des limites).
Cordialement.
Par exemple, si tu veux résoudre $e^{2x}-2e^x+1=0$, l'idée est de poser $X:=e^x$ et de résoudre $X^2-2X+1=0$, puis à la fin quand on a $X=[...]$ on re-remplace $X$ par $e^x$ (on applique la bijection réciproque en fait). Implicitement, typiquement quand on résout une équation avec des racines carrées, on se restreint mentalement à résoudre sur des intervalles où le changement de variable est bien bijectif. Mais c'est bien le caractère bijectif qui fait que ça marche : à chaque solution exprimée en fonction de la nouvelle variable, il existe une et une seule solution de l'équation de départ exprimée avec la variable de départ.
Selon le contexte, la bijection doit vérifier des choses en plus : dans une intégrale, elle doit être dérivable dans les deux sens (un difféomorphisme).
Pas vraiment. Si $F$ est une fonction $C^1$ (pour rester élémentaire) de dérivée $f$ alors on sait que l'on a
\[
F(b)-F(a) = \int_a^b f(t) \mathrm dt.
\] Maintenant si $\varphi$ est une fonctions elle aussi $C^1$ telle que $\varphi(\alpha ) =a $ et $\varphi(\beta)=b$ et si $f$ est continue sur $\varphi([\alpha;\beta])$ alors
\[
F(b)-F(a) = F(\varphi(\beta )) - F(\varphi(\alpha )) = \int_\alpha^\beta (F\circ \varphi)'(t) \mathrm dt = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm dt.
\] On retrouve la formule classique de changement de variables :
\[
\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(t) \mathrm dt = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm dt.
\] Ici $\varphi $ n'a pas besoin d'être une bijection, et elle n'a pas besoin d'être un difféomorphisme. Le fait qu'on puisse prendre $\varphi$ non injective est assez anecdotique j'ai l'impression. En revanche il est très fréquent de faire des changements de variables qui ne sont pas des difféomorphismes, comme $u=x^3$ par exemple.
Il faudrait aller jeter un œil à la preuve…
Ou voir pourquoi la preuve de Renart (;-)) ne fonctionne plus dans ce cas.
\[
\int_V f(x) \mathrm dx = \int_U f(\varphi(u)) |\det(J_\varphi(u))| \mathrm du
\]
ne fait pas intervenir l'inverse de $J_\varphi(u)$. À creuser.
Dom : Même pour les intégrales généralisées on n'a pas strictement besoin d'une bijection, il suffit que les deux côtés de la dernière égalité passent correctement à la limite... ce qui impose tout de même des restrictions sur $\varphi$ ! Mais tout se passe bien par exemple si $\varphi$ est croissante, sans être forcément strictement croissante, ou si elle est injective en dehors d'un compact. Mais comme je l'ai dit c'est assez anecdotique, je crois que je n'ai jamais eu à utiliser un changement de variable qui ne soit pas bijectif :-D.
En dimension 1, la formule de changement de variables (pour l'intégration toujours) n'est rien d'autre qu'un corollaire direct de la formule de composition des dérivations ($(f \circ g)' = g' \times f \circ (g')$ pour des fonctions réelles dérivables), de même que l'intégration par parties qui est un corollaire de la formule de dérivation des produits ($(fg)'=f'g+gf'$). Ce qui n'empêche pas les inspecteurs d'avoir fait interdire leur exposition dans tous les lycées de France (sauf ceux disposant de passe droits) sous prétexte de préserver les élèves qui ne comprendraient rien les pauvres.
Et après des années d'abus de ce genre vous vous retrouvez avec des profs de maths expérimentés (on voit ce malentendu jusque chez des normaliens c'est dire) qui ne savent même pas ça.
Le pédagogisme ne facilite pas les choses il les obscurcit.
C'est parce que tu n'intègres pas assez B-)-
Je ne crois pas que Fdp partagerait ton avis http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2290284,2291176#msg-2291176
En vrai, ça dépend de comment c'est fait : forcément, si l'idéologie c'est "si on ne peut pas le faire comprendre à un élève sans le faire travailler par lui-même, on le retire du programme", on n'ira pas loin. La pédagogie moderne, ça devrait être de trouver comment construire un cours et les activités qui vont avec pour faire comprendre les concepts aux élèves par leur propre travail, et de permettre aux enseignants de réduire au maximum les épisodes de "cours frontal". Comme ça, le prof c'est celui qui propose les activités, rythme le cours, instaure un climat propice au travail des élèves, corrige les activités et aide les élèves qui bloquent, mais il faut que ce soient les élèves qui trouvent et pas le prof qui explique.
Malheureusement, ce ne sont pas les enseignants qui décident, mais des gens qui ont la mauvaise idéologie.
EDIT : j'ajoute, je ne m'étais donc pas trompé pour la nécessité d'un difféomorphisme "en général". La dimension 1 simplifie cependant quand même les choses (on ne va pas s'en plaindre).
Je pense que la notion de composition de limites est l'une des plus délicates et pourtant l'une des plus importantes à comprendre à propos des limites.
Pour l'exemple qu'il a cité, j'écrirais simplement : puisque $\frac{1-\cos(u)}{u^2}$ tend vers $\frac{1}{2}$ lorsque $u$ tend vers $0$ et que $xy$ tend vers $0$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$, par composition $\frac{1-\cos(xy)}{(xy)^2}$ tend vers $\frac{1}{2}$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. Inutile d'introduire un nom de fonction.
Beaucoup de bouquins mettent le caractère bijectif dans le théorème.
En bas de la page 13 de ce document, par exemple (strictement monotone).
http://www.mathieu-mansuy.fr/pdf/ECS2-Chapitre8.pdf#page13
Un contre-exemple (à ce théorème) devrait être connu dans le cas « non strictement monotone ».
C’est ce que suggère la remarque sous le théorème.
Tu peux me dire quand en terminale le concept de changement de variable dans toute sa généralité fût utilisé?
I°) Soit $f:[a,b]\to \R$ continue et $F:=x\in [a,b]\mapsto \int_a^x f$. Alors $F$ est de classe $\mathcal C^1$ et a $f$ pour dérivée. Par suite, $F\circ \varphi$ est dérivable de dérivée $\varphi' \times f \circ \varphi$. On en déduit les égalités
$$\int_c^d f = F(d)-F(c) = F\circ \varphi (b) - F \circ \varphi (a) = \int_a^b (F \circ \varphi)' = \int_a^b \varphi ' \times f \circ \varphi \tag 1$$
II°) Soient $M>0$ un réel et $(f_n)_{n \in \N}$ une suite de fonctions mesurables bornées, telles que pour tout entier $n\in \N$, $\|f_n\|_{\infty}\leq M$ et convergeant simplement vers une fonction $f$. Si pour tout entier $k$, $\int_c^d f_k= \int_a^b \varphi' \times f_k \circ \varphi$, alors $\int_c^d f= \int_a^b \varphi' \times f \circ \varphi$. En effet, $\|\varphi' \|_{\infty} M \geq |\varphi' \times f_k \circ \varphi|$ pour tout $k$ et on peut appliquer le théorème de convergence dominée.
III°) Soit $F$ le plus petit sous-ensemble de $\R^{[a,b]}$ contenant toutes les fonctions continues et stable par limites simples bornées (i.e. pour tout réel $A>0$ et toute suite $n\mapsto g_n$ d'éléments de $F$ bornés, tels que $\|g_k\|_{\infty} \leq A$ pour tout $k$, si $n\mapsto g_n$ converge simplement vers une fonction $h$ alors $h\in F$). Alors $F$ contient toutes les fonctions mesurables bornées.
C'est une variante du lemme de classe monotone. Par exemple pour le prouver on peut montrer que $F$ est un espace vectoriel et que les parties $X$ de $[a,b]$ telles que $\mathbf 1_X\in F$ constituent une classe monotone -un "$\pi$ système" comme on dit parfois- contenant les segments: on peut approcher $\mathbf 1_{[r,s]}$ par dessus par des fonctions continues dont les graphes sont des trapèzes. On pourra aussi consulter "Continous martingales and brownian motion" de D.Revuz et M.Yor pour ne preuve plus directe de ce genre de résultats.
Les points I°,II°, et III° précédents entraînent pour toute fonction mesurable bornée (et en particulier pour toute fonction en escalier) $f$, l'égalité $$\int_c^d f = \int_a^b \varphi' \times f \circ \varphi \tag 2$$ dite "formule du changement de variable en dimension $1$" (puisque l'ensemble des fonctions mesurables bornées satisfaisant cette égalité contient $F$).
Pour les généralisations à des intervalles quelconques via des limites il faut voir ce qui est conservé (via la convergence dominée à nouveau je dirais).
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L'une des raisons pour lesquelles les manuels de prépa privilégient les $\varphi$ monotones est probablement la limitation portant sur la classe des fonctions intégrables (fonctions continues par morceaux souvent: la composée de fonctions continues par morceaux, voire $C^{\infty}$ par morceaux, n'est pas nécessairement continue par morceaux comme le montre l'exemple de $\mathbf 1_{[0,+\infty[} \circ h$ avec $h(0):=0$ et $h(x):= \exp\left ( - \frac 1 {x^2}\right )\sin\left ( \frac 1 x\right )$ quand $x\neq 0$; quand $h$ est remplacée par une fonction monotone ce problème disparaît).
Le changement de variable n'était même pas au programme de mathématiques de la terminale C en 1974.
On trouve le changement de variable affine dans le programme de 1983.
Tu m'expliqueras ce que vient faire le pédagogisme là-dedans si tu es capable de me dire ce que c'est.
Soit $\varphi : U \to V$ une fonction injective bijective et $C^1$ entre deux ouverts de $\R^n$, et soit $f : V \to \R$ une fonction intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue. On note $D$ l'ensemble des points où $\det(J_\varphi(u))=0$, $D$ est un fermé donc $U\backslash D$ est un ouvert, puisque $\varphi$ est ouverte sur $U\backslash D$ on sait que $V\backslash \varphi(D)$ est aussi un ouvert et que $\varphi$ est un difféo entre ces deux ouverts. Par le théorème classique on a donc
\[
\int_{V\backslash\varphi(D)} f(x) \mathrm dx = \int_{U\backslash D} f(\varphi(u)) |\det(J_\varphi(u))| \mathrm du.
\]
Or $\int_{D} f(\varphi(u)) |\det(J_\varphi(u))| \mathrm du=0$ par définition de $D$ et $\int_{\varphi(D)} f(x) \mathrm dx = 0$ car $\lambda(\varphi(D))=0$ d'après le lemme de Sard. En sommant ces termes nuls de chaque côtés on retrouve bien
\[
\int_{V} f(x) \mathrm dx = \int_{U} f(\varphi(u)) |\det(J_\varphi(u))| \mathrm du.
\]
Ensuite on peut se poser la question de pourquoi on devrait supposer $\varphi$ injective bijective en dimension $2$ mais pas $1$. Encore une fois je crois, mais je ne suis pas sûr, que cela n'a pas vraiment grand chose à voir avec la dimension mais avec le fait qu'on change d'intégrale sans le dire en passant de la dimension $1$ à $2$. En effet on remarque que la formule de la dimension $n$ ne redonne pas la formule de la dimension $1$ quand on prend $n=1$, la faute à la valeur absolue sur le déterminant de la jacobienne et à l'intégrale de Lebesgue qui n'admet pas des choses comme $\int_b^a f(t) \mathrm dt = -\int_a^b f(t) \mathrm dt$. Si je ne dis pas de bêtises c'est parce qu'en dimension $1$ on intègre selon une forme différentielle (sans le dire) alors qu'en dimension $n$ on intègre selon une mesure, ce qui n'est pas la même chose.
À creuser.
EDIT : remplacement du mot "injective" par "bijective", cf les messages suivants.
Je prends $U$ la boule unité de $\R^n$ centrée à l'origine et $V$ la boule de rayon 2, centrée à l'origine. Pour $\varphi$ je prends l'inclusion $U\hookrightarrow V$.
Alors $J_\varphi(u)=Id$ et $D=\emptyset$. Donc $\varphi$ n'est pas un difféo entre $U\setminus D$ et $V\setminus \varphi(D)$ et si pour $f$ on prends $\chi_V$, la fonction caractéristique de $V$, alors $\int_{V} \chi_V(x) \mathrm dx$ n'est certainement pas égale à $\int_{U} \chi_V(\varphi(u)) |\det(J_\varphi(u))| \mathrm du$ étant donné que cette dernière expression vaut $\int_{U} \chi_U(u) \mathrm du.$
PS. Il faudra continuer à creuser pour montrer qu'on peut se passer d'un difféo, mais personnellement je n'y crois pas...
Je pense que c'est bon maintenant. En tout cas le résultat devrait être vrai vu le poly indiqué par zazou.
J'avais une confusion car pour moi $u$ était introduit déjà comme le nom d'une fonction, donc j'avais l'air de penser que $u$ représente une fonction dans $\lim_{u\to 0} f(u)$ alors que non c'est une variable muette.
Je pense que ma question était mal exprimée
Je définis une fonction
\begin{equation*}
u\colon\left|
\begin{aligned}
\mathbb{R}^2&\longrightarrow \mathbb{R}\\
(x,y)&\longmapsto u(x,y)
\end{aligned}
\right.
\end{equation*} Je veux savoir quelle est la nature de $u(x,y)$ quand j'écris $u(x,y) \in \mathbb{R}^2$ ?
"Tu accordes trop d'importance à ce mot de "variable", qui ne sert, généralement, qu'à distinguer les noms d'objets parfaitement précis (les constantes) et les noms d'objets non parfaitement déterminés".
Je comprends d'après cette définition que $u(x,y)$ est une variable.
Une autre question pour la même fonction : quand on dit soit $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ fixé.
Est-ce que je prend comprends que u(x,y) est une constante maintenant ?
Ma motivation et mon but de savoir ces petites choses ou bien détails est:
Je pense qu'ils sont l'une des raisons pour lesquelles une personne ne comprend pas bien les maths, il faut éviter toute ambiguïté.
J'avais beaucoup de souffrance dans les abus de notations/langage que personne m'a dit jusqu'à je les découvre et après les comprends.
Un petit exemple.
On pose $f(x,y)=x^2+y^2$
$f(r,\theta)=$ ?
les mathématiciens $f(r,\theta)= r^2 + \theta^2 $
les physiciens $f(r,\theta)= r^2 $
Je vais t'illustrer un "changement de variable" dans une intégrale, j'espère que tu vas y trouver une réponse à ta question. Je prends un exemple simple et bête exprès.
Admettons que je veuille calculer $\displaystyle \int_0^1 \sin(2x+1)dx$.
Au brouillon, je vais écrire : $u=2x+1$, donc $x = \dfrac{u-1}{2}$. Quand $x$ varie de $0$ à $1$, $2x$ varie de $0$ à $2$ donc $2x+1:=u$ varie de $1$ à $3$. A ce stade, je peux écrire que mon intégrale est $\displaystyle \int_1^3 \sin(u)dx$ si je veux, mais ça ne m'avance pas : je veux un $du$ dedans, pas un $dx$.
Qu'à cela ne tienne, je vais "dériver" $u$ par rapport à $x$ "à la physicienne" : $\dfrac{du}{dx} = \dfrac{d}{dx}\bigg( 2x+1 \bigg) = 2$. Donc $du = 2dx$, donc $dx = \dfrac{1}{2}du$.
(EDIT : remarque, on peut aussi prendre $x = \dfrac{u-1}{2}$ et "dériver par rapport à $u$", ça donne le même résultat de manière plus simple, et ça illustre un peu mieux ce que je vais dire plus bas au sujet de l'inverse de $u$.)
Donc mon intégrale est $\displaystyle \int_1^3 \sin(u)\bigg(\dfrac{1}{2}du \bigg)$, c'est-à-dire $\boxed{\displaystyle \int_0^1 \sin(2x+1)dx = \dfrac{1}{2} \int_1^3 \sin(u)du}$. Là, je sais calculer.
Bon, maintenant, quand on est un matheux il faut justifier proprement les choses. Je n'ai pas "dérivé la variable $u$ par rapport à $x$" en fait, j'ai posé $u(x)=2x+1$ et j'ai dérivé la fonction $u$. Tout l'intérêt du "changement de variable" dans une intégrale, c'est que mon intégrale de départ était $\displaystyle \int_0^1 \sin \circ~u(x)dx$ et qu'on veut se débarrasser de la composée à l'intérieur de l'intégrale. C'est ça que la formule de "changement de variable" permet de faire. Comme on l'a déjà dit ici avec les limites, un "changement de variable" c'est une composition de fonctions. Ici, on cherche à composer par l'inverse $u^{-1}$ de $u$ à l'intérieur du sinus pour obtenir une fonction qu'on sait intégrer dans l'intégrale.
EDIT : là où je conçois que c'est contre-intuitif, c'est qu'on utilise la lettre $u$ comme une variable muette dans l'intégrale. Il est plus propre d'introduire la fonction $u$ comme j'ai dit, puis de poser $y=u(x)$ dans l'intégrale. Mais quand on fait les choses "à la physicienne" comme moi au brouillon ici, oui... ça devient moche.
"Je veux savoir quelle est la nature de $u(x,y)$ quand j'écris $u(x,y)\in \mathbb R^2$ ?"
Ben ! C'est écrit : C'est un couple de réels. Un point c'est tout.
"Je comprends d'après cette définition que $u(x,y)$ est une variable. "
Heu ... moi, je n'en sais rien, c'est un nombre. Les variables éventuelles sont les lettres $u$ (fonction), $x$ et $y$. Si, dans le contexte, elles servent de variables.
Encore une fois, Tu accordes trop d'importance à ce mot de "variable", qui ne sert, généralement, qu'à distinguer les noms d'objets parfaitement précis (les constantes) et les noms d'objets non parfaitement déterminé. Tu perds ton temps à te poser ce genre de question, ça va servir à quoi ?
La suite est de la même eau. Inutile de continuer.
Cependant :
"les physiciens $f(r,\theta)= r^2$" ?? Pas les physiciens sérieux, qui écrivent plutôt
$U = x^2+y^2 = r^2$ sans introduire de fonction parasite.
Cordialement.