Caractérisation séquentielle

Bonjour, j'aimerais savoir si ma preuve est juste (chose que je trouve correcte car je crois donner plus de précisions que celles de mon livre).

Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et soit $a \in I$.
$f$ est continue en $a$ si et seulement si pour tout suite $(u_{n})$ qui converge vers $a$, la suite $\big(f(u_{n})\big)$ converge vers $f(a)$.

Pour le sens direct.
Supposons que $f$ est continue en $a$.
Soit $\epsilon>0$ et $(u_{n})$ qui converge vers $a$.
Par hypothèse, il existe $\delta>0$ tel que pour tout $x \in I$, ($|x-a|<\delta$ implique $|f(x)-f(a)|<\epsilon$).
De même, il existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n>n_{0}$, $|u_{n}-a|<\epsilon'$.
Posons $\delta'=\min(\delta,\epsilon')$, alors il existe un entier $n_{1}$ tel que pour tout $n>n_{1}$, $|u_{n}-a|<\delta'$ ce qui implique que $|f(u_{n})-f(a)|<\epsilon$).
Alors par transitivité des implications: la suite $\big(f(u_{n})\big)$ converge vers $f(a)$.
Pour le sens indirect, j'ai raisonné par contraposée.

Dans mon cours, c'est juste mentionné qu'on peut trouver un entier $N$ pour le réel $\delta$ tel que $|u_{n}-a|<\delta$. Je ne suis pas contre cet argument d'ailleurs.