Lien entre algèbre et analyse

Des liens, il y en a partout, en un sens c'est presque inutile de vouloir séparer les maths en sous-théories (tu peux te faire bourbakiste et parler de "la mathématique" si tu veux). Je conçois que l'algèbre et l'analyse puissent être séparées comme ça mais je ne trouve pas ça forcément utile... le "théorème fondamental de l'algèbre" ne se démontre pas sans faire un peu d'analyse quelque part (typiquement, une application du théorème des valeurs intermédiaires), c'est presque un comble vu son nom.

La topologie algébrique n'est pas spécifiquement l'étude des groupes topologiques. Le "début" de la topologie algébrique c'est d'essayer de classifier les espaces topologiques à isomorphisme près (les isomorphismes d'espaces topologiques sont les homéomorphismes). On fabrique pour ça une suite de groupes, les groupes d'homotopie, et on essaie d'affiner la classification avec ça.

Les groupes topologiques, c'est tout bêtement un truc à cheval entre la théorie des groupes et la topologie. Ils servent par le biais de leurs actions continues sur d'autres espaces, par exemple. Sinon, ils servent aussi de passerelle vers l'étude des espaces vectoriels topologiques : c'est un truc plus général que les espaces vectoriels normés (on ne demande plus à la topologie de provenir d'une norme, donc c'est "moins simple") qui sert de support à une théorie gigantesque appelée analyse fonctionnelle (programme de Master de maths fondamentales, parfois déjà abordé en L3 selon l'organisation des cours dans l'établissement).

L'idée, si tu veux, c'est qu'il y a eu une énorme "algébrisation" de l'analyse depuis le début du 20ème siècle : la topologie, c'est un truc ensembliste qui a, me semble-t-il, été introduit au départ pour essayer de classifier un peu les espaces de fonctions... justement, pour étudier les espaces de fonctions au lieu des fonctions en elles-mêmes (ça, c'est l'analyse que tu connais qui s'en charge). De même, la théorie de la mesure, qui sert de support à la "bonne" théorie de l'intégration (qu'on utilise en probabilités et en analyse fonctionnelle), c'est un truc ensembliste. Donc l'analyse au sens moderne, ben, ça repose sur des trucs algébrisés exprès, la topologie générale et la théorie de la mesure.

Pour t'interroger sur les liens entre différents trucs, le seul conseil que je peux te donner, c'est de lire : lis un cours de topologie, tu verras bien où les liens apparaissent et lesquels t'intéressent. Les structures algébriques topologiques, il y en a partout : les groupes de matrices sont des groupes topologiques, $\R$ et $\C$ sont des corps munis d'une topologie compatible, les espaces vectoriels topologiques c'est toute l'analyse fonctionnelle... les anneaux topologiques, cependant, c'est comme les anneaux tout court : c'est vite compliqué, alors on se le garde pour plus tard :-D. En tout cas, comme la topologie est une théorie "fondamentale", c'est un peu normal qu'elle ait des interactions avec plein de trucs.