Dérivées partielles et différentiabilité
Bonjour à tous
Je souhaite résoudre l'exercice suivant.
Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes d'une seule variable réelle et de degré inférieur à $2$. On le munit de la norme $\|P\|=\sup _{x \in[0 ; 1]}|P(x)| .$ Soit la base $\mathcal{E}=\left(1,1+X, 1+X^{2}\right)$ de $E$ et $f: E \ni P(X)=\alpha_{0}+\alpha_{1} X+\alpha_{2} X^{2} \mapsto f(P)=\sin \left(\alpha_{0} \alpha_{2}\right) X-\cos \left(\alpha_{2}\right) X^{2} \in E .$
Calculer les dérivées partielles de $f$ dans la base $\mathcal{E}$, au point $Q(X)=1+X^{2}$ et montrer que $f$ est différentiable.
Après résolution, je trouve :
Première dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_1}(Q(X)) = \cos(1)X$
Deuxième dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_2}(Q(X)) = \cos(1)X$
Troisième dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_3}(Q(X)) = 2\cos(1)X+\sin(1)X^2$.
Après cela, je ne sais pas comment montrer que $f$ est différentiable.
Merci d'avance pour vos réponses.
Je souhaite résoudre l'exercice suivant.
Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes d'une seule variable réelle et de degré inférieur à $2$. On le munit de la norme $\|P\|=\sup _{x \in[0 ; 1]}|P(x)| .$ Soit la base $\mathcal{E}=\left(1,1+X, 1+X^{2}\right)$ de $E$ et $f: E \ni P(X)=\alpha_{0}+\alpha_{1} X+\alpha_{2} X^{2} \mapsto f(P)=\sin \left(\alpha_{0} \alpha_{2}\right) X-\cos \left(\alpha_{2}\right) X^{2} \in E .$
Calculer les dérivées partielles de $f$ dans la base $\mathcal{E}$, au point $Q(X)=1+X^{2}$ et montrer que $f$ est différentiable.
Après résolution, je trouve :
Première dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_1}(Q(X)) = \cos(1)X$
Deuxième dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_2}(Q(X)) = \cos(1)X$
Troisième dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_3}(Q(X)) = 2\cos(1)X+\sin(1)X^2$.
Après cela, je ne sais pas comment montrer que $f$ est différentiable.
Merci d'avance pour vos réponses.
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Réponses
Il n'y a pas de lien avec la dérivée spécifique en $X_{3}$, c'est pour faire du calcul à mon avis (je tombe sur le même résultat).
Ici, il n'est pas donc besoin de calculer les dérivées partielles pour savoir qu'elles existent, mais si tu veux la valeur de la différentielle, cela revient à les calculer.
On sait que si les dérivées partielles existent et sont continues en un point alors la fonction est différentiable en ce point. C'est ce resultat que j'ai voulu utiliser. Du coup je calcule les dérivées partielles en un point quelconque $P(X)=\alpha_0+\alpha_1X+\alpha_2X^2$ ; et je trouve
$ \frac{\partial f}{\partial X_{1}}(P(X))=\alpha_2\cos (\alpha_0\alpha_2) X$
$\frac{\partial f}{\partial X_{2}}(P(X))=\alpha_2\cos (\alpha_0\alpha_2) X$
$\frac{\partial f}{\partial X_{3}}(P(X))=(\alpha_0+\alpha_2)\cos (\alpha_0\alpha_2) X+\sin(\alpha_0) X^{2}$.
Pour conclure, je me demande si on peut affirmer directement que ces dérivées partielles sont continues, vues comme applications de E dans E muni de la norme $\displaystyle \Vert P\Vert = \underset{x\in [0; 1]}{\sup} \vert P(x)\vert $