Dérivées partielles et différentiabilité

tylnx
tylnx
dans Analyse
Bonjour à tous
Je souhaite résoudre l'exercice suivant.

Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes d'une seule variable réelle et de degré inférieur à $2$. On le munit de la norme $\|P\|=\sup _{x \in[0 ; 1]}|P(x)| .$ Soit la base $\mathcal{E}=\left(1,1+X, 1+X^{2}\right)$ de $E$ et $f: E \ni P(X)=\alpha_{0}+\alpha_{1} X+\alpha_{2} X^{2} \mapsto f(P)=\sin \left(\alpha_{0} \alpha_{2}\right) X-\cos \left(\alpha_{2}\right) X^{2} \in E .$
Calculer les dérivées partielles de $f$ dans la base $\mathcal{E}$, au point $Q(X)=1+X^{2}$ et montrer que $f$ est différentiable.

Après résolution, je trouve :
Première dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_1}(Q(X)) = \cos(1)X$
Deuxième dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_2}(Q(X)) = \cos(1)X$
Troisième dérivée partielle de $f$ au point $Q(X)$ : $\dfrac{\partial f}{\partial X_3}(Q(X)) = 2\cos(1)X+\sin(1)X^2$.

Après cela, je ne sais pas comment montrer que $f$ est différentiable.
Merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Puisqu'ici on propose de calculer les dérivées partielles (dans la base $\mathcal{E}$ par exemple, en un point quelconque), on aurait envie de les utiliser pour conclure que $f$ est différentiable.
    Il n'y a pas de lien avec la dérivée spécifique en $X_{3}$, c'est pour faire du calcul à mon avis (je tombe sur le même résultat).
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    La fonction $f$ est de classe ${\cal C }^{\infty }$, et même analytique, comme somme et composées de telles fonctions.
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Le lien entre les deux est l'implication : fonction différentiable $\Longrightarrow $ existence de dérivées partielles et différentielle donnée à partir de ces dérivées.

    Ici, il n'est pas donc besoin de calculer les dérivées partielles pour savoir qu'elles existent, mais si tu veux la valeur de la différentielle, cela revient à les calculer.
  • tylnx
    tylnx
    Merci pour vos reponses.

    On sait que si les dérivées partielles existent et sont continues en un point alors la fonction est différentiable en ce point. C'est ce resultat que j'ai voulu utiliser. Du coup je calcule les dérivées partielles en un point quelconque $P(X)=\alpha_0+\alpha_1X+\alpha_2X^2$ ; et je trouve

    $ \frac{\partial f}{\partial X_{1}}(P(X))=\alpha_2\cos (\alpha_0\alpha_2) X$

    $\frac{\partial f}{\partial X_{2}}(P(X))=\alpha_2\cos (\alpha_0\alpha_2) X$

    $\frac{\partial f}{\partial X_{3}}(P(X))=(\alpha_0+\alpha_2)\cos (\alpha_0\alpha_2) X+\sin(\alpha_0) X^{2}$.

    Pour conclure, je me demande si on peut affirmer directement que ces dérivées partielles sont continues, vues comme applications de E dans E muni de la norme $\displaystyle \Vert P\Vert = \underset{x\in [0; 1]}{\sup} \vert P(x)\vert $
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    On le peut, si on sait que les formes linéaires sont continues, que les fonctions sinus et cosinus sont continues, et que la continuité est préservée par somme, par produit et par composition.
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