Système dynamique
dans Analyse
Bonjour
J'étudie la sortie suivante. Théorème : Soit $A$ une matrice réelle de $n\times n$. Alors le système linéaire $x'=Ax$ est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ ont des parties réelles négatives.
À partir de ce résultat, nous pouvons résoudre le problème suivant.
Prouvez que si $A$ est une matrice dont toutes les valeurs propres ont des parties réelles négatives, alors le système $x'=Ax$ est asymptotiquement stable. De plus, $$\forall \omega>0 , \quad \omega <\min\{ -\mathcal{Re}(\lambda) \mid \lambda \in {\rm spec}(A)\},
$$ il existe un $M>0$ tel que, pour tout $x_{0}\in \mathbb{R}$ et tout $t_{0}\geqslant 0$, on a $$||x(t ; t_{0},x_{0})||\leqslant Me^{-\omega(t-t_{0})}, \quad \forall t\geqslant t_{0}.
$$
Cependant, je ne sais pas comment aller de l'avant. La première partie correspondant à la stabilité asymptotique est claire à partir du théorème directement. Mais la deuxième partie n'est pas claire pour moi.
Merci.
J'étudie la sortie suivante. Théorème : Soit $A$ une matrice réelle de $n\times n$. Alors le système linéaire $x'=Ax$ est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ ont des parties réelles négatives.
À partir de ce résultat, nous pouvons résoudre le problème suivant.
Prouvez que si $A$ est une matrice dont toutes les valeurs propres ont des parties réelles négatives, alors le système $x'=Ax$ est asymptotiquement stable. De plus, $$\forall \omega>0 , \quad \omega <\min\{ -\mathcal{Re}(\lambda) \mid \lambda \in {\rm spec}(A)\},
$$ il existe un $M>0$ tel que, pour tout $x_{0}\in \mathbb{R}$ et tout $t_{0}\geqslant 0$, on a $$||x(t ; t_{0},x_{0})||\leqslant Me^{-\omega(t-t_{0})}, \quad \forall t\geqslant t_{0}.
$$
Cependant, je ne sais pas comment aller de l'avant. La première partie correspondant à la stabilité asymptotique est claire à partir du théorème directement. Mais la deuxième partie n'est pas claire pour moi.
Merci.
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Réponses
J'ai un doute sur ce résultat concernant la constante $M$. En effet je pense que cette constante dépend de $x_0.$
P.S En particulier $x(t_0,t_0,x_0)=x_0$ impliquerait $||x_0||\leq M, \forall x_0$
La solution est donnée par $x(t)=\exp(t A ) x_0.$
Donc $\exp(\omega t) x(t)=\exp\big(t (A+\omega I )\big) x_0. $
Par hypothèse sur $\omega$ la matrice $A+\omega I$ a toutes ses valeurs propres de parties réelles négatives. Alors la fonction $t\mapsto || \exp(t (A+\omega I )) || $ est bornée (puisque continue sur $[0,\infty [$ et tend vers zéro quand $t$ tend vers l'infini.
Il existe donc une constante $M>0$ telle que pour tout $t>0,$ on a $|| \exp(t (A+\omega I )) ||\leq M$.
On en déduit alors $||x(t)||\leq M \exp(- \omega t) ||x_0||$.
Il semble y avoir un bug dans le problème. Dans ce cas, l'approche correcte devrait être la suivante. Prouvez que si $A$ est une matrice dont toutes les valeurs propres ont des parties réelles négatives, alors le système $x'=Ax$ est asymptotiquement stable. De plus,
$$\forall \omega>0 , \quad \omega <\min\{ -\mathcal{Re}(\lambda) \mid \lambda \in {\rm spec}(A)\},
$$ il existe un $M>0$ tel que, pour tout $x_{0}\in \mathbb{R}$ et tout $t_{0}\geqslant 0$, on a $$||x(t ; t_{0},x_{0})||\leqslant Me^{-\omega(t-t_{0})}||x_{0}||, \quad \forall t\geqslant t_{0}.
$$
Est-ce correct ? Comment pouvez-vous démontrer le résultat corrigé ?