Fonctions de classe $\mathcal C^1$

Blanc · August 2021

Bonjour
Je n'ai pu trouver nulle part une démonstration du résultat suivant. Pourriez vous me donner une piste pour la démonstration ?
En vous remerciant.

Soit f de I dans J continue et strictement monotone, bijective de I sur J.
Si f est de classe C1 sur I et ne s’annule pas sur I alors sa bijection réciproque est de classe C1 sur J.

Poirot · August 2021

Dans ton énoncé ce n'est pas $f$, mais $f'$ qui ne doit pas s'annuler sur $I$ (contre-exemple avec $x \mapsto x^2$).

Il s'agit de calculer la limite quand $x$ tend vers $y$ de $$\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(x)}{y-x},$$ ce qui se fait aisément en se rappelant que $f$ est bijective. L'existence et la continuité de la dérivée de $f^{-1}$ en découlent immédiatement.

Homo Topi · August 2021

Ne serait-ce pas $f'$ qui n'a pas le droit de s'annuler ? Parce que ça ressemble drôlement à un théorème d'inversion globale... voir ici

EDIT : grillé.

Fonctions de classe $\mathcal C^1$

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