La transformée inverse en Z de (1/(z*(z+a))
dans Analyse
Bonjour,
J'ai fait l'exercice et je suis tombé sur une autre réponse que celle proposée par Wolfram Alpha. (voir ci-dessous)
Merci d'avance
J'ai fait l'exercice et je suis tombé sur une autre réponse que celle proposée par Wolfram Alpha. (voir ci-dessous)
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Réponses
Voici mon développement :
Aussi, Wolfram Alpha me propose la solution : (-a)^n * theta(n-2) / a^2 = (-a)^n * theta(n-2) / (-a)^2 = (-a)^(n-2)*theta(n-2) où theta(n) est la fonction de Heaviside. Je ne l'ai pas prise en compte car il me semble qu'elle est présente dans l'expression uniquement pour spécifier la causalité d'un système ( pour n<0 x(n)=0)
Je découvre la transformée en z.
En tant que néophyte, j'évite d'utiliser une formule dont je ne connais pas les contours:
ainsi $\dfrac{1}{z+a}=\dfrac{1}{z}\dfrac{1}{1+a/z}=\dfrac{1}{z}\sum_{n\geq 0} (-a)^n/z^n =\sum_{n\geq 0} (-a)^n /z^{n+1} =\sum_{n\geq 1} (-a)^{n-1} /z^{n} $
Ainsi la transformée inverse de $1/a \dfrac{1}{z+a}$ est la suite définie par
$(-a)^{n-2}$ si $n\geq 1 $ et (sous-entendu $0$ si $n\leq 0$)
En ajoutant les 2 transformées inverses je trouve $(-a)^{n-2}$ si $n\geq 2 $
P.S et c'est bien ce que me donne Wolfram avec son "Unitstep (n-2)"