Groupe de Heisenberg
Soit $\Pi_{\lambda}$ la représentation unitaire sur le groupe de Heisenberg $H^n=\Bbb C^n\times\Bbb R$. Pour $\phi\in L^2(\Bbb R^n)$, on a
$$\Pi_{\lambda} (x,y,t)\phi(\xi)=e^{i\lambda t} e^{i\lambda(x.\xi+\frac{1}{2}x.y)}\phi(\xi+y).
$$ Avec $x.\xi=\sum^n_{i=1}x_i\xi_i$ et $x.y=\sum^n_{i=1}x_iy_i$ et $(x,y)\in\R^{n}\times\R^n$ Et $t,\lambda\in\R$.
Posons $\Pi_{\lambda}(X)\phi=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\Big(\Pi_\lambda\big((e^{tX}\big)\phi \Big).\ $ Et $\ X_j=\frac{\partial}{\partial x_j}-\frac{1}{2}y_j\frac{\partial}{\partial t}$.
Pourqoui on a :
$$\Pi_{\lambda}(X_j)\phi(\xi)=-i\lambda \xi_j\phi(\xi)\quad?
$$ Merci.
$$\Pi_{\lambda} (x,y,t)\phi(\xi)=e^{i\lambda t} e^{i\lambda(x.\xi+\frac{1}{2}x.y)}\phi(\xi+y).
$$ Avec $x.\xi=\sum^n_{i=1}x_i\xi_i$ et $x.y=\sum^n_{i=1}x_iy_i$ et $(x,y)\in\R^{n}\times\R^n$ Et $t,\lambda\in\R$.
Posons $\Pi_{\lambda}(X)\phi=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\Big(\Pi_\lambda\big((e^{tX}\big)\phi \Big).\ $ Et $\ X_j=\frac{\partial}{\partial x_j}-\frac{1}{2}y_j\frac{\partial}{\partial t}$.
Pourqoui on a :
$$\Pi_{\lambda}(X_j)\phi(\xi)=-i\lambda \xi_j\phi(\xi)\quad?
$$ Merci.
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