Une suite récurrente

$u_{n+1}\leq u_n$ si et seulement si $u_n/k + 1/u_n\leq u_n$ soit $u_n^2(1-\frac{1}{k})\geq 1$
Il est évident que si $k<1$, pour tout $n$, on aura $u_{n+1}\geq u_n$. Donc supposons $k>1$.
la condition est donc équivalente à : pour tout $n$, $u_n\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq1$.

Maintenant, s'il existe un $n$ tel que $u_n\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq1$, alors :
$u_{n+1}\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq \frac{1}{k} + \frac{1}{u_n}\sqrt{1-\frac{1}{k}}$.
Par une étude des variations de la fonction de récurrence, on obtient l'inégalité suivante :
pour tout $n>1$, $u_n\geq\frac{2}{\sqrt{k}}$.
Donc, $u_{n+1}\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq \frac{1}{k} + \frac{k}{2}\sqrt{1-\frac{1}{k}}= \frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sqrt{k-1}$
Ayons le courage de montrer que cette valeur ne descendra jamais sous $1$, je rappelle que nous avons supposé $k>1$.
Pour cela, en posant $X=\sqrt{k-1}$, étudions la fraction rationnelle suivante :
$$\frac{1}{X^2+1}+\frac{1}{2}X-1$$
Multiplions le tout par $2(X^2+1)$.
$$2+X(X^2+1)-2X^2-2=X^3-2X^2+X=X(X-1)^2$$

Ainsi, dès lors qu'il existe un $n$ tel que $u_n$ vérifie l'inéquation, tous les suivants suivent.
Il suffit donc de trouver un $k$ tel que $u_1=2$ la vérifie.

C'est aussi ce que j'ai trouvé, à toi de me dire si ma démonstration est juste et que c'est bien ça.
Je t'en prie

T'as raison, erreur stupide, je vais chercher à la corriger.