Changement de variable
Bonjour, soit $B_r(x),S_r(x)$ respectivement la boule et la sphère de dimension $n$ centrée en $x$ de rayon $r$. Soit $\mathrm d y,\mathrm d z$ respectivement la mesure uniforme sur la boule et la sphère.
Pourquoi est-ce que $$\int_{B_r(x)}h(y)\;\mathrm d y=\frac{n}{r^n}\int_{\rho=0}^r\int_{S_\rho (x)} h(z)\;\mathrm d z\; \rho^{n-1}\; \mathrm d \rho$$
Pourquoi est-ce que $$\int_{B_r(x)}h(y)\;\mathrm d y=\frac{n}{r^n}\int_{\rho=0}^r\int_{S_\rho (x)} h(z)\;\mathrm d z\; \rho^{n-1}\; \mathrm d \rho$$
Réponses
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Bonjour, as-tu essayé de dériver par rapport à $r$ les deux termes de l'égalité?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
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Bonjour, intuitivement si tu veux intégrer sur une boule de rayon r et de centre x ça revient à sommer toutes les intégrales sur les sphères de centre x et de rayon $\rho$ pour $\rho$ allant de 0 à r. Pour le cas n=2 ça revient à passer aux coordonnées polaires. Mais je pense que à droite ton coefficient $\frac{n}{r^n}$ n'est pas bon.
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Bonjour!
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