Une inéquation fonctionnelle simple, mais...

Chaurien
Chaurien
dans Analyse
Bonsoir.
Voici encore un problème que je retrouve dans mes archives.Déterminer toutes les applications $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que : $\forall x \in \mathbb R, \forall y \in \mathbb R, f(x+y^2) \ge f(x)+y$.C'est un énoncé que j'ai eu sur un forum que je fréquentais autrefois. Je n'ai pas dû chercher la solution car elle était donnée au cours de l'échange. Ce qui est curieux, c'est que cette solution est tout à fait élémentaire, mais l'expérience montre qu'on ne la trouve pas facilement. Un collègue racontait qu'il le posait tous les ans en prépas depuis longtemps, et qu'aucun élève ne trouvait, quoique la solution tienne en une ligne, disait-il. Une ligne, il exagérait quand même.
Je suis certain que quelqu’un trouvera la solution, mais ce qui m'intéresse surtout, c'est d'obtenir des références pour cet énoncé, afin de trouver peut-être son origine.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Une telle fonction n'existe pas. On a tout d'abord $f(1)-f(0) \geq 1$. Mais on a également $f(1) - f(0) = f(1) - f(1/2) + f(1/2) - f(0) \geq \frac{2}{\sqrt 2} = \sqrt 2$ et plus généralement, pour tout $n \in \mathbb N^*$, $$f(1)-f(0) \geq \frac{2^n}{\sqrt{2^n}} = 2^{n/2},$$ ce qui est absurde.

    Je n'ai pas de référence, désolé !
  • Dom
    Dom
    Flûte.
    Peut-être que l’énoncé contient une coquille ?

    Il est clair, c’est très net mais c’est décevant d’avoir des réponses « il n’y en a pas » je trouve.

    Édit : ha ben non, c’est confirmé.
    Pour ce genre d’exercices (équations fonctionnelles) je reste sur ma faim.
  • Charlie12
    Charlie12
    Bonsoir,

    Ce que je propose est moins succinct que ce qu'a proposé Poirot, mais allons-y:

    On suppose disposer d’une solution $f$.

    En remplaçant $y$ par $\frac{1}{n+1}$, $x$ par $\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k^2}$, puis en sommant et avec une somme télescopique, on trouve que $ f(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}) \underset{ n \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty$.

    Or par croissance de $f$, on a $\forall n \in \mathbb{N}^*, f(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}) \leq f(\zeta(2))$, d’où une contradiction.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Une solution en une ligne. Comme évidemment on a que $f(x + ny^{2}) \geq f(x) + ny$ on a seulement à écrire que : $f(x + y^{2}) = f(x + n \frac{y^{2}}{n}) \geq f(x) + n\frac{y}{\sqrt{n}} = f(x) + \sqrt{n}y$.
    Ce qui entraîne que $f$ est une chimère.
  • etanche
    etanche
    Olympiade coréenne 2017, généralisation avec paramètre c
    $f(x+y^2) \geq cf(x)+y$ pour $c\geq 1$ pas de solution, pour $c<1$ il y a des solutions

    voir aussi ici

    et là
  • Chaurien
    Chaurien
    J'ai cet énoncé dans mes archives depuis une vingtaine d'années, récupéré sur un forum de professeurs de prépas que je fréquentais alors. Wirth avait dit que Gostiaux le lui avait communiqué en salle des professeurs du lycée Saint-Louis vers 1980. Et il racontait qu'aucun élève ne trouvait la solution, comme j'ai dit dans mon premier message.
    Et pourtant la solution est élémentaire, à la portée de Terminale, même aujourd'hui je pense.
    On commence par $f(x+ny^2) \ge f(x)+ny$ pour $n \in \mathbb N^*$, $x \in \mathbb R$, $y \in \mathbb R$, puis on fait $x:=0, y:=\frac 1{\sqrt n}$, terminé.
    On se demandait l'origine de cet énoncé. Il est trop facile pour avoir été posé à une compétition, mais peut-être dans une batterie d'exercices de préparation à une compétition, et alors pas en France puisque ces préparations n'existaient pas en ces époques reculées. On penchait pour un exercice d'un manuel de Terminale C ou D des années 1970, quand on faisait des mathématiques en Terminale (*).
    Pour l'instant, cette question reste sans réponse.
    On peut maintenant penser à des généralisations. J'ai été surpris et amusé et intéressé par la référence d'etanche de Corée, 2017, bravo pour l'avoir trouvée. Paris 2002 - Séoul 2017 : les idées mathématiques cheminent par des voies mystérieuses. On peut envisager d'autres généralisations avec un autre exposant à la place de $y^2$ ou en changeant le sens de l'inégalité. Lotta continua.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    (*) C'était mieux avant.
    22/08/2021
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Ou encore résoudre l'induction fonctionnelle dans le cas c < 1. Même si je n'y crois absolument pas.
  • Foys
    Foys
    L'idée est élégante:
    -$f$ est croissante (on a $f(x+h)-f(x)\geq \sqrt h$ pour tout $h$ positif) et a partout une dérivée à droite infinie (en divisant la quantité précédente par $h$). Bref la fonction en question a un comportement suspect quand la variable fait de petits écarts.

    Une solution élémentaire inspirée de cette idée est de constater que pour tout entier $n\geq 1$,
    $$f(x+1)-f(x)=\sum_{k=0}^{n^2-1} f\left (x+\frac {k+1} {n^2} \right ) - f \left (x+\frac k {n^2} \right ) \geq \frac {n^2} n = n$$ On en déduit qu'une telle fonction ne peut pas exister.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22

BbiduleDémonstratorFly77JLTJaymzMatricule_63dedekind93jelobreuilzeste +13 Invités