Exercice analyse réelle
Bonjour,
Soit $f$ une fonction continue et positive de $\mathbb{R}^+$ dans lui même admettant une limite finie en $+\infty$.
Je cherche à montrer que $\forall a \geq 0, \displaystyle \int_0^{+\infty} (f(t + a) - f(t)) \,\mathrm{d}t$ converge.
Auriez-vous un petit indice (pas la solution en tout cas)? J'ai remarqué que $f$ était bornée et uniformément continue et j'ai alors essayé des majorations plus ou moins fines sur $f(t + a) - f(t)$ mais je suis bloqué car je ne connais pas le signe de cette différence en général. Je ne suis pas non plus particulièrement éclairé par des considérations de fonctions simples vérifiant l'énoncé comme $t \mapsto \frac1{t + 1}$ ou $\text{arctan}$ même si j'arrive à conclure quand $f$ est dérivable et monotone.
Soit $f$ une fonction continue et positive de $\mathbb{R}^+$ dans lui même admettant une limite finie en $+\infty$.
Je cherche à montrer que $\forall a \geq 0, \displaystyle \int_0^{+\infty} (f(t + a) - f(t)) \,\mathrm{d}t$ converge.
Auriez-vous un petit indice (pas la solution en tout cas)? J'ai remarqué que $f$ était bornée et uniformément continue et j'ai alors essayé des majorations plus ou moins fines sur $f(t + a) - f(t)$ mais je suis bloqué car je ne connais pas le signe de cette différence en général. Je ne suis pas non plus particulièrement éclairé par des considérations de fonctions simples vérifiant l'énoncé comme $t \mapsto \frac1{t + 1}$ ou $\text{arctan}$ même si j'arrive à conclure quand $f$ est dérivable et monotone.
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Réponses
A une constante près, on a $\displaystyle \int_0^x (f(t + a) - f(t)) \,\mathrm{d}t \approx \int_x^{x + a} f(u)\,\mathrm{d}u$.
Or, notant $L$ la limite en $+\infty$, on a $\left| \displaystyle \int_x^{x + a} f(u)\,\mathrm{d}u - aL\right| = \left|\displaystyle \int_x^{x + a} (f(u) - L)\,\mathrm{d}u\right| \leq \displaystyle \int_x^{x + a} |f(u) - L|\,\mathrm{d}u \leq \displaystyle \int_x^{x + a} \varepsilon\,\mathrm{d}u = a\varepsilon$ pour $x$ assez grand.
L'hypothèse de continuité est aussi superflue
\begin{align*}
\left|\int_{\left[0;x\right]}\left(f\left(t+a\right)-f\left(t\right)\right)d\lambda\left(t\right)-\left(C+aL\right)\right| & =\left|\int_{\left[x;x+a\right]}\left(f\left(t\right)-L\right)d\lambda\left(t\right)\right|\\
& \leqslant\int_{\left[x;x+a\right]}\sup_{[x;+\infty[}\left|f-L\right|d\lambda\\
& \leqslant a\sup_{[x;+\infty[}\left|f-L\right|\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}0
\end{align*}
D'où le résultat.