Mesurabilité d'un ensemble
Bonjour, considérons la question suivante.
Soit $(E,\mathcal{F})$ un espace mesurable et pour tout $r \in \mathbb{R},f_r:E \to \mathbb{R}$ une fonction $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-mesurable.
Soit $G:=\{x \in E\mid \forall r \in \mathbb{R},\ \lim\limits_{q \to r^+,q \in \mathbb{Q}}f_q(x)$ existe dans $\mathbb{R}\}$. Prouver que $G \in \mathcal{F}.$
On pourra remarquer que $G=\bigcap_{r \in \mathbb{R}}\bigcap_{p \in \mathbb{N}^*}\bigcup_{k \in \mathbb{N}^*}\bigcap_{(q_1,q_2) \in ]r,r+1/k[^2 \cap \mathbb{Q}^2}\{x \in E ,|f_{q_1}(x)-f_{q_2}(x)| \leq 1/p\}$.
La première intersection est non dénombrable.
Que suggérez-vous faire ?
Merci.
Soit $(E,\mathcal{F})$ un espace mesurable et pour tout $r \in \mathbb{R},f_r:E \to \mathbb{R}$ une fonction $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-mesurable.
Soit $G:=\{x \in E\mid \forall r \in \mathbb{R},\ \lim\limits_{q \to r^+,q \in \mathbb{Q}}f_q(x)$ existe dans $\mathbb{R}\}$. Prouver que $G \in \mathcal{F}.$
On pourra remarquer que $G=\bigcap_{r \in \mathbb{R}}\bigcap_{p \in \mathbb{N}^*}\bigcup_{k \in \mathbb{N}^*}\bigcap_{(q_1,q_2) \in ]r,r+1/k[^2 \cap \mathbb{Q}^2}\{x \in E ,|f_{q_1}(x)-f_{q_2}(x)| \leq 1/p\}$.
La première intersection est non dénombrable.
Que suggérez-vous faire ?
Merci.
Réponses
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Est-il possible de considérer une intersection indexée par $\mathbb{Q}$ ?
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A toi de montrer que l'ensemble G est égal à celui obtenu en ne prenant que les r rationnels.
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Peut-etre la considération de $\mathbb{Q}$ ne donne rien, en fait on peut trouver un contre-exemple $f_r=1_{\mathbb{R}-\mathbb{Q}}$
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Bonjour!
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