Mesurabilité d'un ensemble

Bonjour, considérons la question suivante.

Soit $(E,\mathcal{F})$ un espace mesurable et pour tout $r \in \mathbb{R},f_r:E \to \mathbb{R}$ une fonction $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-mesurable.
Soit $G:=\{x \in E\mid \forall r \in \mathbb{R},\ \lim\limits_{q \to r^+,q \in \mathbb{Q}}f_q(x)$ existe dans $\mathbb{R}\}$. Prouver que $G \in \mathcal{F}.$

On pourra remarquer que $G=\bigcap_{r \in \mathbb{R}}\bigcap_{p \in \mathbb{N}^*}\bigcup_{k \in \mathbb{N}^*}\bigcap_{(q_1,q_2) \in ]r,r+1/k[^2 \cap \mathbb{Q}^2}\{x \in E ,|f_{q_1}(x)-f_{q_2}(x)| \leq 1/p\}$.

La première intersection est non dénombrable.
Que suggérez-vous faire ?
Merci.