Équation différentielle

Procédons par analyse-synthèse.
Supposons que $y$ soit une solution maximale de cette équation sur un intervalle $I \subset \mathbb R$. Alors $y(t)y'(t)=1$ sur $I$ donc en primitivant sur $I$ :
$$\frac{y(t)^2}{2} = t + C,
$$ où $C$ est une constante. On obtient donc sur $I$ :
$$ y(t) = \pm \sqrt 2 \sqrt{C+t},
$$ et on en déduit donc que $I = \, ]{-}C,+\infty[$ (le signe ne dépend pas de $t$ car $y$ est continue sur $I$, si le signe changeait par le théorème des valeurs intermédiaires $y$ s'annulerait sur $I$, ce qui est absurde).

La synthèse est facile, on vérifie que pour tout $C \in \mathbb R$, les fonctions $t \mapsto \pm \sqrt 2 \sqrt{C+t}$ sont solutions maximales sur $]-C,+\infty[$.