Équation différentielle
Réponses
-
La fonction $\sqrt{2x}$ est une solution.
-
Procédons par analyse-synthèse.
Supposons que $y$ soit une solution maximale de cette équation sur un intervalle $I \subset \mathbb R$. Alors $y(t)y'(t)=1$ sur $I$ donc en primitivant sur $I$ :
$$\frac{y(t)^2}{2} = t + C,
$$ où $C$ est une constante. On obtient donc sur $I$ :
$$ y(t) = \pm \sqrt 2 \sqrt{C+t},
$$ et on en déduit donc que $I = \, ]{-}C,+\infty[$ (le signe ne dépend pas de $t$ car $y$ est continue sur $I$, si le signe changeait par le théorème des valeurs intermédiaires $y$ s'annulerait sur $I$, ce qui est absurde).
La synthèse est facile, on vérifie que pour tout $C \in \mathbb R$, les fonctions $t \mapsto \pm \sqrt 2 \sqrt{C+t}$ sont solutions maximales sur $]-C,+\infty[$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 64 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres