Classes de régularité
Désolé, c'est encore un fil du même genre :-D
La quasi totalité des fonctions dérivables que je connais sont des fonctions à peu près de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, parce que les fonctions usuelles ont la gentillesse d'être infiniment dérivables partout (ou presque partout, comme la valeur absolue ou la racine carrée) où elles sont définies, et la plupart des fonctions spéciales que je "connais" vérifient ça également.
Je connais au moins un exemple de fonction qui est "strictement" continue : donc, continue et dérivable nulle part.
Et là, je me suis rendu compte (bon, je le savais depuis longtemps, mais je ne m'étais jamais attardé dessus) que je ne connais pas de fonction
- dérivable, dont la dérivée est continue "le moins possible" (je ne sais pas ce que ça serait : dérivable mais de dérivée continue nulle part ? de dérivée discontinue presque partout ? autre chose ?)
- strictement $\mathcal{C}^1$, plus précisément $\mathcal{C}^1$ mais pas $\mathcal{C}^2$
- idem $\mathcal{C}^k$ mais pas $\mathcal{C}^{k+1}$ pour tout autre entier $k$
Existe-t-il des constructions explicites connues de fonctions de ce genre ? Ou bien des résultats théoriques qui attestent que ça n'existe pas ?
La quasi totalité des fonctions dérivables que je connais sont des fonctions à peu près de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, parce que les fonctions usuelles ont la gentillesse d'être infiniment dérivables partout (ou presque partout, comme la valeur absolue ou la racine carrée) où elles sont définies, et la plupart des fonctions spéciales que je "connais" vérifient ça également.
Je connais au moins un exemple de fonction qui est "strictement" continue : donc, continue et dérivable nulle part.
Et là, je me suis rendu compte (bon, je le savais depuis longtemps, mais je ne m'étais jamais attardé dessus) que je ne connais pas de fonction
- dérivable, dont la dérivée est continue "le moins possible" (je ne sais pas ce que ça serait : dérivable mais de dérivée continue nulle part ? de dérivée discontinue presque partout ? autre chose ?)
- strictement $\mathcal{C}^1$, plus précisément $\mathcal{C}^1$ mais pas $\mathcal{C}^2$
- idem $\mathcal{C}^k$ mais pas $\mathcal{C}^{k+1}$ pour tout autre entier $k$
Existe-t-il des constructions explicites connues de fonctions de ce genre ? Ou bien des résultats théoriques qui attestent que ça n'existe pas ?
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Réponses
Toutefois, je ne me rappelle pas avoir rencontré un exemple explicite d'une telle fonction.
Une dérivée ne peut pas avoir n'importe quelle forme, elle doit être "presque continue" (Théorème de Darboux)
Tu as des fonctions dérivables dont la dérivée est discontinue sur un ensemble dense. Il suffit de prendre la classique f(x)=x^2sin(1/x) et de faire une somme de translatées de f. Genre somme ai.f(x+i) avec i dans Q et ai bien choisi...
Edit : la gueule de ta fonction, du moment qu'elle est continue on s'en fiche. Elle reste primitivable qu'elle soit sous forme de série ou non
Pour étoffer un tout petit peu ce que dit noobey sur les dérivées, ça ne peut en effet pas être n'importe quoi. Une dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, est de classe de Baire $1$ (i.e. limite simple de fonctions continues) donc continue sur une partie dense. Il y a une caractérisation des fonctions dérivées due à Choquet.
Je n'ai jamais entendu parler de classe de Baire.
Par exemple Volterra a crée une fonction $V$ continue sur $[0;1]$, dérivable sur cet intervalle et de dérivée bornée mais telle que $V'$ ne soit pas Riemann-intégrable sur [0;1]. En d'autres termes $V'$ est discontinue sur un ensemble de mesure de Lebesgue strictement supérieure à $0$. J'imagine qu'en bidouillant un peu avec des translatées de $V$ on peut construire une fonction dérivable de dérivée bornée telle que l'ensemble $D$ des discontinuités intersecte tout intervalle ouvert sur un ensemble de mesure strictement positive, voire même carrément $\lambda(D)=1$.
À noter qu'une fonction dérivée est toujours mesurable en tant que limite simple d'une suite de fonctions continues (donc mesurables). Si elle est en plus bornée alors elle est intégrable et on a une version Lebesgue du théorème fondamental de l'analyse qui s'applique. De ce point de vu là les soucis arrivent lorsque la dérivée n'est pas bornée.