Comment trouver la fonction exponentielle ?

Bonjour,
Tout dépend de la définition de l'exponentielle choisie. Il se trouve que l'une des définitions de l'exponentielle est justement la solution de l'équation de Cauchy $y'=y$ et $y(0)=1$.

Edit : Pas très gentil de modifier le message après ma réponse...

Bonjour Lazare.

Il se trouve que $a^x$ n'est pas définissable de façon générale par les formules de base qui définissent $a^n$ pour n entier supérieur ou égal à 2 (produit de n termes égaux à $a$), puis par extension conservant les formules, ou presque pour n=1 puis 0, puis pour n entier négatif (et a non nul), et même pour n nombre rationnel avec les "racines n-ièmes", mais là déjà on coince sur la cohérence des calculs.
Par contre, on a trouvé au dix-septième siècle, une fonction bien continue, bien lisse, qui permet de définir $a^x$ pour tout réel $a>0$ par $a^x=\exp(x\ln(a))$. Depuis, on n'a pas trouvé mieux.
Mais $e^x$ n'est que la réécriture de $a^x$ pour $a=e$ par le formule ci-dessus (*). Et le fait que l'exponentielle est sa propre dérivée est une conséquence de sa définition, qui a varié (limite d'une suite, réciproque de $\ln$, série, ...). mais ce n'est pas $e^x$ qu'il faut considérer, c'est la fonction $\exp$.

Cordialement.

(*) $e^x=\exp(x\ln(e))=\exp(x\times 1) = \exp(x)$

Heu ... si l'affichage du LaTeX se fait bien, tu ne devrais pas avoir de $ qui apparaissent. Ces symboles sont dans le texte envoyé (qu'on peut obtenir avec "Citer") et sont des délimiteurs pour le LaTeX (langage d'écriture de formules et textes mathématiques).
Ils apparaissent parfois quand le logiciel dédié à Internet sur l'appareil est trop faible, ou le serveur trop lent. Mais normalement, on ne les voit pas.

Cordialement.

Il n'y a pas de barre verticale, c'est ton logiciel qui les place parce que mal réglé pour lire LaTeX. Voir ce message

$\displaystyle \frac{e^{x+ \Delta x}-e^{x}}{\Delta x}=\frac{(e^{\Delta x}-1) e^{x}}{\Delta x}$
L’exponentielle gagne toujours... ._.'
Donc quand $\Delta x$ tend vers 0 alors ça tend vers $e^x$
donc si $y=e^x$ alors $y'=y$