Majoration suite de Cauchy

Cretinus · August 2021

Bonjour, je regardais le sujet et son corrigé de la section MP X97. Je ne mets que la partie corrigée en PJ, cela suffit. Et je ne parviens à déduire la partie que j'ai entourée en mauve. Il s'agit d'établir une majoration à l'aide de 2 autres établies auparavant dans le 5.
Merci pour votre aide.

|Même dans le titre Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD] 125866

Poirot · August 2021

La partie en mauve vient de l'hypothèse que $(f_n)_n$ est de Cauchy pour $||| \cdot |||_{\alpha}$, qui implique que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N$ entier tel que pour tout $n \geq N$ et $p \geq 0$, on a $K_{\alpha}(f_{n+p}-f_n) \leq \varepsilon$.

Cretinus · August 2021

Merci pour ton aide Poirot, je n'y avais pas du tout pensé. Mais je reste un manche et ne parviens pas à utiliser cette aide correctement.
Quand je pars de l'expression à majorer, j'arrive à
$|(f_{n+p}(x) - f_{n}(x)) - (f_{n+p}(y) - f_{n}(y))| \le (K_{\alpha}(f_{n+p}) + K_{\alpha}(f_{n})) |x-y|^{\alpha}$.

Et malheureusement l'inégalité $K(f+g) \leq K(f) + K(g)$ n'est pas dans le sens voulu.