Intégrale de l'été

\begin{align*}J&=\int_0^1 \frac{\ln(1-t)\text{Li}_2(t)}{1+t}dt\\
&=-\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{1+t}\left(\int_0^t\frac{\ln(1-u)}{u}du\right)dt\\
&=-\int_0^1\int_0^1 \frac{\ln(1-t)\ln(1-tu)}{u(1+t)}dtdu\\
&\overset{x=1-tu,y=\frac{1-t}{1-tu}}=-\int_0^1\int_0^1 \frac{x\ln x\ln(xy)}{(1-x)(2-xy)}dxdy\\
&=2\int_0^1\int_0^1\frac{\ln x\ln(xy)}{(2-y)(2-xy)}dxdy-\int_0^1\int_0^1 \frac{\ln x\ln(xy)}{(1-x)(2-y)}dxdy\\
&=\underbrace{\int_0^1\int_0^1\frac{\ln^2(xy)+\ln^2 x-\ln^2 y}{(2-y)(2-xy)}dxdy}_{=\text{A}}-\underbrace{\left(\int_0^1\frac{\ln x}{1-x}dx\right)\left(\int_0^1\frac{\ln y}{2-y}dy\right)}_{=\frac{\pi^4}{72}-\frac{\pi^2\ln^2 2}{12}}-\\&\underbrace{\int_0^1\frac{\ln^2 x}{(1-x)(2-y)}dxdy}_{=2\zeta(3)\ln2 }\\
\end{align*}
\begin{align*}
\text{A}&=\underbrace{\int_0^1\int_0^1\frac{\ln^2(xy)}{(2-y)(2-xy)}dxdy}_{u(x)=xy}+\frac{1}{2}\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln(2-x)\ln^2 x}{1-x}dx}_{u=1-x}-\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac{2}{2-y}\right)\ln^2 y}{y(2-y)}dy}_{u=1-y}\\
&=\underbrace{\int_0^1\frac{1}{y(2-y)}\left(\int_0^y \frac{\ln^2 u}{2-u}du\right)dy}_{\text{IPP}}+\frac{1}{2}\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln(1+u)\ln^2(1-u)}{u}du}_{=\text{B}}-\\&\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac{2}{1+u}\right)\ln^2(1-u)}{1-u^2}du}_{z=\frac{1-u}{1+u}}\\
&=\left(\frac{1}{2}\left[\ln\left(\frac{y}{2-y}\right)\left(\int_0^y \frac{\ln^2 u}{2-u}du\right)\right]_0^1-\frac{1}{2}\underbrace{\int_0^1\frac{\ln^3 y}{2-y}dy}_{=-6\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)}+\frac{1}{2}\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(2-y)\ln^2 y}{2-y}dy}_{z=\frac{y}{2-y}}\right)+\\&\frac{1}{2}
\text{B}-\frac{1}{2}\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(1+z)\ln^2\left(\frac{2z}{1+z}\right)}{z}dz}_{=\text{C}}\\
&=3\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\underbrace{\int_0^1\frac{\ln\left(\frac{2}{1+z}\right)\ln^2\left(\frac{2z}{1+z}\right)}{1+z}dz}_{=\text{D}}+\frac{1}{2}\text{B}-\frac{1}{2}\text{C}\\
\end{align*}
\begin{align*}
\text{B}&=\frac{1}{6}\left(\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3(1-u^2)}{u}du}_{z=1-u^2}-\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3\left(\frac{1-u}{1+u}\right)}{u}du}_{z=\frac{1-u}{1+u}}-2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3(1+u)}{u}du}_{z=\frac{1}{1+u}}\right)\\
&=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\ln^3 z}{1-z}dz-2\int_0^1 \frac{\ln^3 z}{1-z^2}dz+2\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\ln^3 z}{z(1-z)}dz\right)\\
&=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\ln^3 z}{1-z}dz-\int_0^1 \frac{\ln^3 z}{1-z}dz-\int_0^1 \frac{\ln^3 z}{1+z}dz+2\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\ln^3 z}{1-z}dz-\frac{1}{2}\ln^4 2\right)\\
&=\frac{1}{6}\left(\frac{3}{2}\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3 z}{1-z}dz}_{=-\frac{\pi^4}{15}}-\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3 z}{1+z}dz}_{=-\frac{7\pi^4}{120}}-2\underbrace{\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln^3 z}{1-z}dz}_{=\frac{\pi^2\ln^2}{4}-6\text{Li}_4\left(\frac{ 1}{2}\right)-\frac{21}{4}\zeta(3)\ln 2-\frac{1}{2}\ln^4 2}-\frac{1}{2}\ln^4 2\right)\\
&=-\frac{1}{144}\pi^4-\frac{1}{12}\pi^2\ln^2 2+\frac{1}{12}\ln^4 2+\frac{7}{4}\zeta(3)\ln 2+2\text{Li}_4\left(\frac{ 1}{2}\right)\\
\text{D}&=\underbrace{\int_0^1\frac{\ln^3\left(\frac{2}{1+z}\right)}{1+z}dz}_{u=\frac{1-z}{1+z}}+2\underbrace{\int_0^1\frac{\ln z\ln^2\left(\frac{2}{1+z}\right)}{1+z}dz}_{u=\frac{1-z}{1+z}}+\int_0^1\frac{\ln^2 z\ln\left(\frac{2}{1+z}\right)}{1+z}dz\\
&=\frac{1}{4}\ln^4 2+2\int_0^1\frac{\ln\left(\frac{1-u}{1+u}\right)\ln^2\left(1+u\right)}{1+u}du-\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln(1+u)\ln^2 u}{1+u}du}_{=-\frac{\pi^4}{24}-\frac{\pi^2\ln^2 2}{6}+4\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{2}\zeta(3)\ln 2+\frac{1}{6}\ln^4 2}+\ln 2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^2 u}{1+u}du}_{=\frac{3}{2}\zeta(3)}\\
&=2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln(1-u)\ln^2(1+u)}{1+u}du}_{=\text{E}}+\frac{1}{24}\pi^4+\frac{1}{6}\pi^2\ln^2 2-\frac{5}{12}\ln^4 2-2\zeta(3)\ln 2-4\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)\\
\text{E}&=\frac{1}{3}\left(\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3\left(\frac{1-u}{1+u}\right)}{1+u}du}_{z=\frac{1-u}{1+u}}-\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3\left(1-u\right)}{1+u}du}_{z=1-u}+\int_0^1 \frac{\ln^3\left(1+u\right)}{1+u}du+3\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^2\left(1-u\right)\ln(1+u)}{1+u}du}_{z=\frac{1-u}{1+u}}\right)\\
&=-\frac{7}{360}\pi^4+2\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{12}\ln^4 2+\text{D}\\
\text{D}&=\frac{1}{360}\pi^4+\frac{1}{6}\pi^2\ln^2 2-\frac{1}{4}\ln^4 2-2\zeta(3)\ln 2+2\text{D}\\
\text{D}&=-\frac{1}{360}\pi^4-\frac{1}{6}\pi^2\ln^2 2+\frac{1}{4}\ln^4 2+2\zeta(3)\ln 2
\end{align*}
\begin{align*}
C&=\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^3(1+z)}{z}dz}_{u=\frac{1}{1+z}}-2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^2(1+z)\ln z}{z}dz}_{\text{IPP}}+\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln(1+z)\ln^2 z}{z}dz}_{\text{IPP}}-\\&2\ln 2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^2(1+z)}{z}dz}_{u=\frac{1}{1+z}}+2\ln 2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln(1+z)\ln z}{z}dz}_{\text{IPP}}+\ln^2 2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln(1+z)}{z}dz}_{=\frac{\pi^2}{12}}\\
&=\left(\frac{1}{4}\ln^4 2-\underbrace{\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{\ln^3 u}{1-u}du}_{=-\frac{\pi^4}{15}-\frac{\pi^2\ln^2 2}{4}+\frac{21\zeta(3)\ln 2}{4}+\frac{\ln^4 2}{2}+6\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)} \right)+2\underbrace{\int_0^1\frac{\ln(1+z)\ln^2 z}{1+z}dz}_{=-\frac{\pi^4}{24}-\frac{\pi^2\ln^2 2}{6}+\frac{7\zeta(3)\ln 2}{2}+\frac{\ln^4 2}{6}+4\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)}-\\&\frac{1}{3}\underbrace{\int_0^1\frac{\ln^3 z}{1+z}dz}_{=-\frac{7\pi^4}{120}}-2\ln 2\left(\frac{1}{3}\ln^3 2+\underbrace{\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{\ln^2 u}{1-u}du}_{=\frac{1}{4}\zeta(3)-\frac{1}{3}\ln^3 2} \right)-\ln 2\underbrace{\int_0^1 \frac{\ln^2 z}{1+z}dz}_{=\frac{3}{2}\zeta(3)}+\frac{1}{12}\pi^2\ln^2 2\\
&=\frac{1}{360}\pi^4+\frac{1}{12}\ln^4 2-\frac{1}{4}\zeta(3)\ln 2+2\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)\\
A&=-\frac{1}{160}\pi^4-\frac{1}{8}\pi^2 \ln^2 2+\frac{1}{8}\ln^4 2+2\zeta(3)\ln 2+3\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)\\
J&=\boxed{-\dfrac{29}{1440}\pi^4-\dfrac{1}{24}\pi^2\ln^2+\dfrac{1}{8}\ln^4 2+3\text{Li}_4\left(\dfrac{1}{2}\right)}
\end{align*}

NB: Des valeurs d'intégrales sont admises pour ce calcul. La difficulté pour obtenir leur valeur n'a pas le même degré de difficulté que l'intégrale calculée dans ce message.

Pour calculer ce type d'intégrales, on transforme une intégrale et à la fin le terme problématique sera de la forme:
$\displaystyle \int_0^1 R(x)\left(\int_0^x S(t)dt\right)dt$ où $R$ a pour primitive une fonction simple.
ce qui permettra de se débarrasser de l'intégrale double par intégration par parties.
Généralement on se retrouve à la fin avec des valeurs de fonctions polylogarithmes.

PS:
Cela aide bien parfois l'égalité: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\left(\int_0^x f(t)dt\right)dx=\frac{1}{2}\left(\int_0^1 f(t)dt\right)^2$