Uniforme continuité d'une fonction complexe
Soit $f : \mathbb C \to \mathbb C$ une fonction continue telle que $f(z)=g(z)z$ où $g$ est réelle à valeurs dans $]0,1[$. $f$ est-elle uniformément continue?
J'ai essayé pour $z_1,z_2 \in \mathbb C$ d'encadrer $\vert g(z_1) z_1 - g(z_2) z_2 \vert$... Mais sans réel succès.
Merci par avance pour votre éclairage!
J'ai essayé pour $z_1,z_2 \in \mathbb C$ d'encadrer $\vert g(z_1) z_1 - g(z_2) z_2 \vert$... Mais sans réel succès.
Merci par avance pour votre éclairage!
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Réponses
Non en général.
Contre-exemple : $g:z\mapsto 0.8\cdot |\sin(z^2)|+0.1$.
Prendre $z$ réel et le faire croître pour voir ce qu'il se passe.
Merci ! Je suis impressionné. Comment as-tu trouvé ce contre-exemple ? Il faut une bonne connaissance de $\sin z^2$ !?!
Aussi, le sinus complexe n'est pas forcément de module inférieur à un ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Comme dit math2 si tu fais osciller de plus en plus vite tu empêches l'uniforme continuité. Je ne connais pas le sinus complexe mais l'important est d'avoir des oscillations.
Oui erreur de ma part. Remplace $g:z\mapsto 0.8\cdot |\sin(z^2)|+0.1$ par $g:z\mapsto 0.8\cdot |\sin({\rm Re}(z)^2)|+0.1$ comme suggéré par math2.