Uniforme continuité d'une fonction complexe

jpmjpmjpm
jpmjpmjpm
dans Analyse
Soit $f : \mathbb C \to \mathbb C$ une fonction continue telle que $f(z)=g(z)z$ où $g$ est réelle à valeurs dans $]0,1[$. $f$ est-elle uniformément continue?

J'ai essayé pour $z_1,z_2 \in \mathbb C$ d'encadrer $\vert g(z_1) z_1 - g(z_2) z_2 \vert$... Mais sans réel succès.

Merci par avance pour votre éclairage!

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    $f$ est-elle uniformément continue ?

    Non en général.

    Contre-exemple : $g:z\mapsto 0.8\cdot |\sin(z^2)|+0.1$.

    Prendre $z$ réel et le faire croître pour voir ce qu'il se passe.
  • jpmjpmjpm
    jpmjpmjpm
    raoul.S
    Merci ! Je suis impressionné. Comment as-tu trouvé ce contre-exemple ? Il faut une bonne connaissance de $\sin z^2$ !?!
    Aussi, le sinus complexe n'est pas forcément de module inférieur à un ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • math2
    math2
    @jpmjpmjpm : l'idée est qu'il faut faire osciller de plus en plus vite les choses. Pour l'objection que tu as formulée, tu peux imaginer des variantes, du type $\sin({\rm Re}(z)^2)$, il s'agit déjà de contredire l'uniforme continuité sur l'axe réel.
  • raoul.S
    raoul.S
    jpmjpmjpm a écrit:
    Comment as-tu trouvé ce contre-exemple?

    Comme dit math2 si tu fais osciller de plus en plus vite tu empêches l'uniforme continuité. Je ne connais pas le sinus complexe mais l'important est d'avoir des oscillations.
    Aussi, le sinus complexe n'est pas forcément de module inférieur à un?

    Oui erreur de ma part. Remplace $g:z\mapsto 0.8\cdot |\sin(z^2)|+0.1$ par $g:z\mapsto 0.8\cdot |\sin({\rm Re}(z)^2)|+0.1$ comme suggéré par math2.
  • jpmjpmjpm
    jpmjpmjpm
    Merci à tous les deux!
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