Fonction continue dans le carré
L'autre jour, shannon a proposé à Pablo un exercice. Je l'ai résolu dans mon coin... j'ai déjà fait ce genre d'exercice 2-3 fois, j'oublie systématiquement la résolution alors je me suis proposé de le refaire. Nous avons tous déjà dû faire des exercices comme ça, il en existe plein de formulations. Ils ressemblent à ceci :
Soit $f : [0;1] \longrightarrow [0;1]$ une fonction continue telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
Sous [hypothèses supplémentaires], montrer que $f$ admet un point fixe dans $]0;1[$.
Dans la formulation de shannon, les hypothèses supplémentaires étaient que $f$ est dérivable en $0$ et en $1$ et que $f'(0)=f'(1)=0$.
En regardant sur un dessin, en essayant de résoudre cet exercice, je me suis rendu compte que $f'(0)=f'(1)=0$ pouvait probablement être assouplie en $f'(0) < 1$ et $f'(1)>-1$. en tout cas, sur le dessin, ça paraît cohérent.
J'ai trouvé plusieurs autres formulations d'exercices du même genre (point fixe d'une fonction continue dans le carré). Donc on peut trouver un paquet de conditions suffisantes à l'existence d'un tel point fixe. Par contre, je me suis demandé si l'on pouvait trouver une condition nécessaire (non triviale, je vous connais :-D)... ça ne m'a pas l'air évident du tout. Je vous invite à y réfléchir, ou à m'aider à y réfléchir. Je trouve le problème intéressant mais j'ai du mal à fabriquer une idée.
Soit $f : [0;1] \longrightarrow [0;1]$ une fonction continue telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
Sous [hypothèses supplémentaires], montrer que $f$ admet un point fixe dans $]0;1[$.
Dans la formulation de shannon, les hypothèses supplémentaires étaient que $f$ est dérivable en $0$ et en $1$ et que $f'(0)=f'(1)=0$.
En regardant sur un dessin, en essayant de résoudre cet exercice, je me suis rendu compte que $f'(0)=f'(1)=0$ pouvait probablement être assouplie en $f'(0) < 1$ et $f'(1)>-1$. en tout cas, sur le dessin, ça paraît cohérent.
J'ai trouvé plusieurs autres formulations d'exercices du même genre (point fixe d'une fonction continue dans le carré). Donc on peut trouver un paquet de conditions suffisantes à l'existence d'un tel point fixe. Par contre, je me suis demandé si l'on pouvait trouver une condition nécessaire (non triviale, je vous connais :-D)... ça ne m'a pas l'air évident du tout. Je vous invite à y réfléchir, ou à m'aider à y réfléchir. Je trouve le problème intéressant mais j'ai du mal à fabriquer une idée.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Peut-être ces conditions supplémentaires permettent d’avoir d’autres informations mais je ne sais pas.
NB: j’écris depuis mon téléphone donc désolé pour les fautes de frappe.
Édit : Désolé HT , tu parlais de point fixe dans $]0,1[$
Dans l'exercice version shannon, les dérivées obligent $f$ à être sous la première bissectrice immédiatement à droite de $0$ et au-dessus immédiatement à gauche de $1$, donc le TVI permet de conclure sans trop galérer. Sans ces dérivées, il faut autre chose...