Fonction continue dans le carré

Homo Topi
Homo Topi
dans Analyse
L'autre jour, shannon a proposé à Pablo un exercice. Je l'ai résolu dans mon coin... j'ai déjà fait ce genre d'exercice 2-3 fois, j'oublie systématiquement la résolution alors je me suis proposé de le refaire. Nous avons tous déjà dû faire des exercices comme ça, il en existe plein de formulations. Ils ressemblent à ceci :

Soit $f : [0;1] \longrightarrow [0;1]$ une fonction continue telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$.

Sous [hypothèses supplémentaires], montrer que $f$ admet un point fixe dans $]0;1[$.

Dans la formulation de shannon, les hypothèses supplémentaires étaient que $f$ est dérivable en $0$ et en $1$ et que $f'(0)=f'(1)=0$.

En regardant sur un dessin, en essayant de résoudre cet exercice, je me suis rendu compte que $f'(0)=f'(1)=0$ pouvait probablement être assouplie en $f'(0) < 1$ et $f'(1)>-1$. en tout cas, sur le dessin, ça paraît cohérent.

J'ai trouvé plusieurs autres formulations d'exercices du même genre (point fixe d'une fonction continue dans le carré). Donc on peut trouver un paquet de conditions suffisantes à l'existence d'un tel point fixe. Par contre, je me suis demandé si l'on pouvait trouver une condition nécessaire (non triviale, je vous connais :-D)... ça ne m'a pas l'air évident du tout. Je vous invite à y réfléchir, ou à m'aider à y réfléchir. Je trouve le problème intéressant mais j'ai du mal à fabriquer une idée.

Réponses

  • Gon
    Gon
    Bonsoir HT, j’ai lu en vrac les dernières parties mais sans les hypothèses supplémentaires et même les hypothèses sur $f(0)=f(1)$ , la fonction admet au moins un point fixe . Il suffit de considérer la fonction $g:=f(x)-x$ et d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
    Peut-être ces conditions supplémentaires permettent d’avoir d’autres informations mais je ne sais pas.

    NB: j’écris depuis mon téléphone donc désolé pour les fautes de frappe.

    Édit : Désolé HT , tu parlais de point fixe dans $]0,1[$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je pense qu'on résout la plupart de ces exercices avec le TVI sur cette fonction $g$, en tout cas ici c'est ce que j'avais fait. Mais ces exercices sont rarement complètement triviaux, d'où ma question.

    Dans l'exercice version shannon, les dérivées obligent $f$ à être sous la première bissectrice immédiatement à droite de $0$ et au-dessus immédiatement à gauche de $1$, donc le TVI permet de conclure sans trop galérer. Sans ces dérivées, il faut autre chose...
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Cela m'étonnerait qu'on trouve réellement une condition nécessaire simple (qui ne serait pas une tautologie), mais je dirais qu'avec ces hypothèses, un contrôle sur les dérivées en $0$ et en $1$ pour s'éloigner de la droite $y=x$ sur les bords est effectivement naturel, car c'est tout ce qui manque pour conclure (par le TVI). Sans cela, je pense qu'on peut trouver des fonctions continues dérivables ni en $0$ et ni en $1$ qui ont ou n'ont pas de point fixe dans $]0,1[$ (mais elles ne sont pas sympathiques).
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je m'étais dit à peu près la même chose, mais j'étais quand même curieux de voir si quelqu'un allait trouver quelque chose d'intéressant. S'il n'y a rien, tant pis, ça arrive.
  • math2
    math2
    Moi j'avoue que je n'y crois guère non plus.
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