Bornitude d'une fonction

Par Cauchy-Schwarz, on peut majorer en valeur le numérateur par $\sqrt{3} \sqrt{t^2+u^2+v^2}$ et alors tu majores par un terme de la forme $g(\sqrt{t^2+u^2+v^2})$ avec $g(x)=\sqrt{3} \frac{x}{1+x^2}$. La fonction $g$ est trivialement bornée sur $\R^+$ (continuité+limite finie en $+\infty$ ou bien étude ou encore majoration classique $2|uv| \leq u^2+v^2$) par une constante $M$ qui sera donc un majorant de la v.a. de ton terme. $M=\sqrt{3}/2$ convient (sauf erreur) si l'on veut une constante explicite)

Soit $a,b,c$ trois réels, je note $<.>$ le produit scalaire usuel de $\R^3$ et $u=(1,1,1)$. On a $a+b+c= <u,(a,b,c)>$. Cela se majore donc en valeur absolue par $\|u\| .\|(a,b,c)\|$.