Un problème d'existence
dans Analyse
Bonjour
Je suis bloquée sur l'exercice suivant.
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $h > 0$. Soit $f : [a - h, a + h] \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ sur $[a - h, a + h]$ et vérifiant $f''(a) \neq 0$. Montrer que :
$$
\exists \delta > 0,\ \forall x \in [- \delta , \delta] \setminus \lbrace 0 \rbrace,\ \exists ! \theta_x \in\, ]0, 1[, \qquad
f(a + x) = f(a) + xf'(a + x \theta_x).
$$ J'ai essayé de faire un raisonnement par l'absurde et d'utiliser Taylor Young sans réussir à conclure.
Des idées ?
Merci par avance,
Marie
Je suis bloquée sur l'exercice suivant.
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $h > 0$. Soit $f : [a - h, a + h] \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ sur $[a - h, a + h]$ et vérifiant $f''(a) \neq 0$. Montrer que :
$$
\exists \delta > 0,\ \forall x \in [- \delta , \delta] \setminus \lbrace 0 \rbrace,\ \exists ! \theta_x \in\, ]0, 1[, \qquad
f(a + x) = f(a) + xf'(a + x \theta_x).
$$ J'ai essayé de faire un raisonnement par l'absurde et d'utiliser Taylor Young sans réussir à conclure.
Des idées ?
Merci par avance,
Marie
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Réponses
Edit : j'ai rajouté la parenthèse sur l'inversion locale juste avant d'envoyer mon message mais ça fait vraiment carrément penser à ça. En fait c'est même clairement ça.
Si tu as pas encore vu le théorème d'inversion locale, ici ça se traduirait par "vu que $f''$ ne s'annule pas $f'$ est strictement monotone, de plus est continue donc elle est bijective" et ça te donne le droit d'invoquer sa réciproque, ce qui te permet de trouver que $\theta_x$ existe et est unique.
Edit : c'était très bête, en première année on sait très bien que si la dérivée ne s'annule pas on peut appliquer la formule de la dérivée de la réciproque...
Je connaissais pas ce théorème. Ça permet de montrer que $\theta_x$ existe et est unique sur $[a-\delta,a+\delta]$ (en effet, pas forcément dans $]0,1[$).
Cependant même si $\theta_x$ est bien encadré, avec $0 \not \in [a-\delta,a+\delta]$, je ne vois pas comment trouver un $\delta'$ qui convienne.
Avec un gros développement limité en $0$ tu trouves que $\theta_x$ tend vers $\frac{1}{2}$. De plus il est continu ailleurs que en $0$ (par opérations, c'est des sommes, produits, compositions, quotients de fonctions continues). Du coup il existe un voisinage sur lequel il est dans $]0,1[$.
Je pense que ça suffit ?
Si tu as besoin de détails n'hésite pas, j'ai laissé "en gros" pour que tu puisses tracer ta route mais tout n'est pas évident.
Rappelons que $f(a+x)-f(a)=\int_0^1 f'(a+tx)x dt$ et que par application de l'inégalité de la moyenne $\int_0^1 f'(a+tx) dt=(1-0)f'(a+\theta x)=f'(a+\theta x)$ pour un certain $\theta$ entre $0$ et $1$.
Rappel : pour $g$ continue, $\int_0^1 g(s)ds=g(c)$ avec un certain $c\in ]0;1[$, ce qui se démontre par exemple en appliquant le théorème des accroissements finis à $x\mapsto \int_0^x g(s)ds$.
Je ne suis pas sûr non plus que $f$ de classe $C^1$ suffise, mais c'est très possible parce que dans le DL de $\theta_x$ les $f''(a)$ se sont simplifiés.
Edit : toujours dans l'ânerie je n'avais pas lu la démo, avec les intégrales c'est très clair. Et c'est logique en plus, forcément dériver va introduire des "singularités" alors que intégrer va "lisser". B-)-
Sans restreindre la généralité on peut supposer que $a=0$ et supposer que $f(0)=f'(0)=0$ (faire le changement de fonction $g(x)=f(x)-f(0)-f'(0) x.$ L'hypothèse $f''(0)\neq 0$ est inchangée.
On peut aussi supposer que $f''(0)>0$ (sinon remplacer $f$ par $- f$ et faire un raisonnement analogue.
Comme $f$ est de classe $C^2$ il existe $\delta$ tel que $f''(0)>0$ sur $[-\delta,\delta]$
Pour tout $x\in ]0,\delta]$ et $x\neq 0$ il existe $c_x\in ]0, x[$ tel que $f(x)=x f'(c_x).$
(th des acc. finis.)
Mais sur $[0, \delta],$ $f'$ est strictement croissante (puisque $f''>0$ alors $c_x$ est unique)
En posant $\theta_x=c_x/x $ on a démontré le résultat.
pour $x<0$ idem.
P.S excuses, je n'ai pas vu, (ni lu) le message de math2.
Ensuite, je n'avais pas réfléchi à l'aspect unicité, mais dès que $g$ est strictement monotone sur $[0;1]$, il y aura unicité du $c\in ]0;1[$ pour lequel $\int_0^1 g(s)ds=g(c)$. Dans ce qui nous intéresse, dès que $f'$ est strictement monotone, il y a unicité du $\theta_x$ (sauf si bien entendu $x=0$ car de manière évidente dans ce cas tout $\theta$ de $]0;1[$ convient, l'énoncé est faux dans ce cas). L'hypothèse $f''(a)\not=0$ est suffisante (mais non nécessaire) pour assurer que localement (ce qui va donner le $\delta$) $f'$ est strictement monotone et ensuite évidemment le $[0;1]$ du $g$ devient l'intervalle $[a,a+x]$ pour $f'$, sur lequel $f'$ sera strictement monotone.
J'ai donc l'impression que $f$ de classe $C^1$ et $f'$ strictement monotone au voisinage de $a$ est suffisant.
Sauf erreur (ce qui arrive), cet exercice se résout par des moyens tout à fait élémentaires.
Après je ne renie pas ma méthode, c'est très efficace et ça donne un $\theta_x$ qui se prolonge par continuité en $0$ ce qui est plutôt agréable. B-)-B-)-
J'ai tenté de faire simple, mais si effectivement tu as raison on peut ajouter des informations plus précises sur ce $x\mapsto \theta_x$, comme tu le fais.
Mais l'énoncé n'est pas tout à fait correct, au sens où pour $x=0$ il n'y a plus unicité.
math2 : L'énoncé précise que $x \neq 0$ (depuis le début)
Bien à vous,
Marie