On a $\sin^2 x = \frac{1}{1 + \cot ^2 x}$. D'où le fait que si $\cot ^2 x$ est entier, $\sin x$ est un nombre algébrique de degré au plus 2 sur $\mathbb Q $.
Il n'y a donc bien que $2$ et $4$ qui conviennent.
Le problème de l’École de l'Air de 1983 traite dans sa partie III l’équation $\tan r \pi=s$ avec $r$ et $s$ inconnues rationnelles. L'énoncé est dans la RMS 1983-84, p. 113, et une solution dans la RMS 1983-84, p. 274. On utilise les polynômes de Tchebychev de première espèce.
Bonjour Chaurien,
sur le site de l'UPS, il y a bien un sujet de l'école de l"air 1983 portant sur l'irrationalité de $\cos(r\pi)$ pour $r\in\Q$ mais il ne possède que 2 parties (et une question préliminaire) et n'aborde pas le cas de $\tan(r\pi)$. Tu fais référence à un autre sujet ?
LP
LP, Oui, j'ai remarqué ça, et je ne m'explique pas cette bizarrerie. Dans les publications de l'UPS ce problème ne comprend que deux parties, mais dans la RMS que j'ai citée il y a bien les trois parties. Je joins la version UPS et la troisième partie, de la RMS.
Bonne réception.
Fr. Ch.
Réponses
ton équation revient à trouver n entier tel $\frac{1}{tan\frac{\pi}{n}} = p $ avec p entier naturel
tu connais une racine racine évidente n = 4 dont l'image est 1
pour n = 2 l'image est 0 entier naturel
pour n = 0 on peut montrer que l'image tend vers 0 également (la fonction cotangente tend vers 0 en l'infini)
sinon tu dois trouver n dans le cas général soit $$n = \frac{\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi - Arctan(p)}$$
les valeurs de n ne se bousculent pas pas dans ton esprit ni dans le mien
Cordialement
Il n'y a donc bien que $2$ et $4$ qui conviennent.
sur le site de l'UPS, il y a bien un sujet de l'école de l"air 1983 portant sur l'irrationalité de $\cos(r\pi)$ pour $r\in\Q$ mais il ne possède que 2 parties (et une question préliminaire) et n'aborde pas le cas de $\tan(r\pi)$. Tu fais référence à un autre sujet ?
LP
Bonne réception.
Fr. Ch.
L'explication se trouve peut-être dans la deuxième phrase du scan de la RMS : "cette partie n'a pas été donnée à l'examen".
LP