Entiers à trouver

etanche
etanche
dans Analyse
Bonjour

Trouver tous les entiers naturels $n$ tels que $\cot(\frac{\pi}{n})$ est aussi entier

cot(x) est la fonction cotangente

Merci

Réponses

  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour

    ton équation revient à trouver n entier tel $\frac{1}{tan\frac{\pi}{n}} = p $ avec p entier naturel

    tu connais une racine racine évidente n = 4 dont l'image est 1

    pour n = 2 l'image est 0 entier naturel

    pour n = 0 on peut montrer que l'image tend vers 0 également (la fonction cotangente tend vers 0 en l'infini)

    sinon tu dois trouver n dans le cas général soit $$n = \frac{\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi - Arctan(p)}$$

    les valeurs de n ne se bousculent pas pas dans ton esprit ni dans le mien

    Cordialement
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    On a $\sin^2 x = \frac{1}{1 + \cot ^2 x}$. D'où le fait que si $\cot ^2 x$ est entier, $\sin x$ est un nombre algébrique de degré au plus 2 sur $\mathbb Q $.

    Il n'y a donc bien que $2$ et $4$ qui conviennent.
  • Chaurien
    Chaurien
    Le problème de l’École de l'Air de 1983 traite dans sa partie III l’équation $\tan r \pi=s$ avec $r$ et $s$ inconnues rationnelles. L'énoncé est dans la RMS 1983-84, p. 113, et une solution dans la RMS 1983-84, p. 274. On utilise les polynômes de Tchebychev de première espèce.
  • LP
    LP
    Bonjour Chaurien,
    sur le site de l'UPS, il y a bien un sujet de l'école de l"air 1983 portant sur l'irrationalité de $\cos(r\pi)$ pour $r\in\Q$ mais il ne possède que 2 parties (et une question préliminaire) et n'aborde pas le cas de $\tan(r\pi)$. Tu fais référence à un autre sujet ?
    LP
  • Chaurien
    Chaurien
    LP, Oui, j'ai remarqué ça, et je ne m'explique pas cette bizarrerie. Dans les publications de l'UPS ce problème ne comprend que deux parties, mais dans la RMS que j'ai citée il y a bien les trois parties. Je joins la version UPS et la troisième partie, de la RMS.
    Bonne réception.
    Fr. Ch.
  • LP
    LP
    Merci Chaurien.
    L'explication se trouve peut-être dans la deuxième phrase du scan de la RMS : "cette partie n'a pas été donnée à l'examen".
    LP
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