L'origine des séries de e, cos et sin

Je pencherais plutôt pour le théorème de Taylor.

De ce que j'en comprends la fonction exponentielle était au départ rattachée à l'inverse du logarithme et aux puissances (ou exposants) de réels positifs. J'avais lu quelque part que Newton, pas Euler, était le premier (en Europe) a avoir introduit l'exponentielle sous forme de série, en tant que fonction égale à sa dérivée :
\[
\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots

\] Enfin, à ce moment là, la fonction ne s’appelait peut être pas encore exponentielle. Si l'on cherche une fonction qui soit égale à sa dérivée on peut commencer par chercher du côté des polynômes. Évidemment ça n'a aucune chance d'aboutir puisque $\deg(P')= \deg(P)-1$ pour tout polynôme non nul, un polynôme n'est donc jamais égal à sa dérivée. Cependant si on cherche quand même à ce que $P$ et $P'$ soient le plus proche possible on se retrouve avec
\[
P(X)= 1+X+ \frac{X^2}{2} + \ldots + \frac{X^n}{n!},

\] à une constante multiplicative près. Ainsi $P(X)-P'(X)=\dfrac{X^n}{n!}$ et pour chaque réel $x$ fixé la suite des $\dfrac{x^n}{n!}$ tend vers $0$ de sorte que $P$ et $P'$ sont "de plus en plus proches" l'un de l'autre à mesure que $n$ augmente. On a alors l'idée de faire tendre ce $n$ vers l'infini, ce qui donne une fonction définie par une série, la série de l'exponentielle.

Ça c'est une des façons de faire pour trouver cette série, après il reste encore un gros travail pour savoir si :
1) La série est bien convergente.
2) La fonction définie par la série est effectivement dérivable et si l'on peut dériver "termes à termes".
Travail que Newton n'a pas fait très rigoureusement semble-t-il, mais c'était la mode à l'époque.
On pourra trouver quelques sources à partir de ce lien.