Majorations

romziath
romziath
dans Analyse
Bonjour à tous
Svp j'aimerais savoir si les inégalités suivante sont vraies.
$\|z\| < C\| \nabla z\|\ $ et $\ \| \nabla \cdot z\| < C\| \nabla z\|,\ $ où $z$ appartient à un ouvert borné de $ \mathbb{R}^3$.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    J'imagine que $z$ est une fonction qui admet des dérivées partielles, et non pas un vecteur de $\mathbb R^3$.

    Pour la première inégalité, aucune chance que ce soit possible, par exemple si $z$ est constante non nulle.

    Pour la seconde c'est vrai, puisque toute norme sur $\mathbb R^3$ est équivalente à la norme $1$ et qu'on a $|\nabla \cdot z| \leq ||\nabla z||_1$.
  • romziath
    romziath
    Pour le premier on peut utiliser l'inégalité de Poincaré non.
    Merci
  • Renart
    Renart
    $\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}$Ta question, formulée ainsi, n'a aucun sens.

    Si $z$ est un élément de $\R^3$ alors $\grad z$ n'a pas de sens.
    Si $z$ est une fonction alors il faut préciser quelles hypothèses elle vérifie et quelle norme tu utilises, elles ne sont pas toutes équivalentes. Si tu penses que l'inégalité de Poincaré permet de répondre pour la première inégalité pourquoi ne vas-tu pas chercher sur wikipédia la réponse ? C'est l'affaire de 2 minutes tout au plus et tu verras qu'il y a des conditions sur la fonction.
  • Poirot
    Poirot
    Si on ne précise pas les espaces de fonctions et les normes utilisées aussi...
  • romziath
    romziath
    Je vois excusez moi $z$ est une fonction vectorielle $z \in \big(L^2(\Omega)\big)^3,\ \Omega $ est un ouvert borné de $\mathbb{R}^3$.
  • math2
    math2
    Bon alors ça devient de plus en plus abscons, j'imaginais que ta fonction serait dans un Sobolev mais même pas, la norme n'est toujours pas précisée, et évidemment les hypothèses que tu cites ne remettent pas en cause les remarques qui t'ont été faites : l'inégalité de Poincaré-Wirtinger a des hypothèses qui sont grossièrement mises en défaut par l'exemple de Poirot, exemple qui pourtant satisfait tes hypothèses, personnellement je n'aime pas parler de gradient d'une fonction vectorielle (mathématiquement, ça n'a absolument aucun sens, même si parfois il s'agit simplement d'un abus d'écriture).

    Donc je maintiens le "non" de Poirot pour la première, en imaginant tout de même que ta fonction est $H^1(\Omega)$, que tu parles de la norme $L^2$ (et en acceptant l'abus d'écriture du gradient d'une fonction vectorielle).

    Si ta fonction est dans $H^1_0(\Omega)$, la réponse est différente.
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