Calculs de limites

Marie Soleil
Marie Soleil
dans Analyse
Bonjour
Je suis en train de chercher l'exercice suivant.

Soit $a>0$ et $f : [-a;a] \to \mathbb{R}$ continue en $0$.
On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{R} \setminus \lbrace -1;1 \rbrace$ et $\ \ell \in \mathbb{R}$ tel que
$$
\lim \limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(kx)}{x} = \ell.

$$ Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et trouver $f'(0)$.

Je n'arrive pas à me débarrasser du $k$ qui pose problème.
Pouvez-vous s'il vous plaît me donner une indication ?
Merci par avance,
Marie.

Réponses

  • Alexique
    Alexique
    $$\frac{f(x)-f(kx)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x}+k\frac{f(0)-f(kx)}{kx}$$

    EDIT : ha oui, on ne sait pas que $f$ est dérivable en $0$. Bon, si c'est le cas, on peut trouver sa valeur grâce à cette écriture, et si $k=0$, on peut conclure facilement aussi.
  • P.
    P.
    Sans perte de généralité on suppose $-1<k<1$ car sinon en posant $y=x/k$ et en utilisant $(f(y/k)-f(y))/y$ on s'y ramène.

    Soit $g(x)=(f(x)-f(0))/x$ et $u(x)=g(x)-kg(kx)$ alors par récurrence sur $n,$
    $$g(x)-k^ng(k^nx)=\sum_{i=0}^{n-1}k^iu(k^ix).
    $$ Or, $xg(x)\xrightarrow[x\to 0]{}0$ ; donc $k^ng(k^nx)\xrightarrow[n\to \infty]{}0\ $ et $\ g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}k^iu(k^ix).$ Comme $u(x)\xrightarrow[x\to 0]{} \ell$ alors $u$ est bornée et par convergence normale
    $$g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}k^iu(k^ix)\quad\xrightarrow[x\to 0]{}\quad\sum_{i=0}^{\infty}k^i\ell=\ell\frac{1}{1-k}.$$
  • Marie Soleil
    Marie Soleil
    Bonjour P.

    J'ai l'impression que t'affirmes $g(kx)=kg(x)$ pour établir cette formule? (edit) Ok maintenant c'est bon merci.
  • Marie Soleil
    Marie Soleil
    Merci Alexique.

    Cependant, je n'arrive toujours pas à montrer que $f$ est dérivable en $0$ avec cette écriture?

    J'ai envie d'utiliser la continuité de $f$ en $0$ mais maintenant $-kg(kx)$ m'embête (en reprenant les notations de P.)
  • Alexique
    Alexique
    Je crois que P a tout dit non ?

    On a (par composition de limites) que pour tout $p \in \mathbb{Z}$ $$\lim_{x \to 0} \frac{f(k^p x)-f(k^{p+1}x)}{k^p x} = \ell.
    $$ Fixons $\epsilon>0$. On a l'existence d'un $\delta>0$ tel que $$|x|<\delta \implies |f(k^p x)-f(k^{p+1}x)-\ell k^p x| \leq \epsilon k^p |x|.
    $$ Par sommation télescopique sur $p$, tu dois pouvoir conclure en distinguant les cas $|k|<1$ et $|k|>1$. Je réfléchis à si mon $\delta$ dépend de $p$ car j'aurais besoin que non...

    Dans mon post précédent, si on admet que $f$ est dérivable en $0$, la valeur de $f'(0)$ vient toute seule mais la difficulté est de montrer que cette limite existe.

    À noter qu'avec mon $k$ au dénominateur, il faut traiter à part le cas $k=0$ ce qui est immédiat.
  • nahar
    nahar
    0n peut d'abord se ramener au cas $\ell=0$ en cosidérant la fonction $x\mapsto f(x)-\ell$.
    Pour le cas $k>1$:
    Soit $\varepsilon>0$, $\exists \alpha>0$, $\forall |x|<\alpha: \left| f(x)-f(kx)\right| <\varepsilon |x|$
    Etablir que $\forall n\in \mathbb{N}:\left| f(k^{n+1}x)-f(k^n x)\right| <\varepsilon k^n |x|$
    Puis $\left| f(k^{n}x)-f(x)\right| <\dfrac{\varepsilon}{1-k} |x|$
    Soit $|x|<\alpha$, on a: $\lim\limits_{n\to +\infty}k^n x=0$ et $f$ continue en $0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}f(k^n x)=f(0)$\\
    Ainsi $\exists N\in \mathbb{N}: (\forall \in \mathbb{N}): \left| f(k^{n}x)-f(0)\right| <\varepsilon|x|$
    L'inégalité triangulaire permet d'aboutir.
    Je me méfie quand même: j'espère qu'il n'y a pas de dépendance entre les variables!
  • P.
    P.
    J'ai corrige mon message precedent...
  • Marie Soleil
    Marie Soleil
    Merci Alexique.
    Concernant les $\delta_p$, je pense que l'on peut affirmer que leur min existe vu que l'ensemble des $\delta_p$ utilisés pour la somme téléscopique est une partie de $\mathbb{R}$ minorée non vide.

    Aussi pour trouver $f'(0)$, il suffit de relever la limite obtenue...
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