Somme d'une série de fonctions

Bonjour,

Il faudrait déjà examiner la convergence.
Ensuite, j'aurais bien envie d'utiliser les complexes..

Cordialement;

Comme expliqué sur le lien d'étanche la série diverge.

Pour $x\in[2k\pi+\pi/4; 2k\pi + 3\pi/4]$ on a $\sin(x)\geq 1/2$, on pose $x = t\ln(n)$ on a donc des termes supérieurs à $1/2n$ pour des entiers vérifiant $\exp((2k\pi+\pi/4)/t)\leq n \leq \exp((2k\pi + 3\pi/4)/t)$. Il y a $\exp((2k\pi + 3\pi/4)/t)- \exp((2k\pi + \pi/4)/t) + O(1)$ entiers dans ces intervalles donc la somme des termes sur cet intervalle sera supérieure à $\frac{1}{2}(1-e^{-\pi/2t})+o_k(1)$. L'entier $k$ étant arbitraire la suite des sommes partielles n'est donc pas de Cauchy et la série diverge.

Le logarithme est une fonction à croissance trop lente, la série se comporte donc essentiellement comme la série harmonique sur des intervalles de la forme $[a; \lambda a]$ avec $\lambda >1$ et pour des $a$ arbitrairement grands, ce qui la fait diverger.

Juste pour être sûr qu'il n'y ait pas de malentendu : la série n'est pas convergente au sens classique, mon précédent message en contient la preuve. La notion de "convergence implosive" de Jean Lismonde m'est inconnue et ce n'est en tout cas pas la notion classique de convergence.

Si l'on utilise un logiciel de calcul pour visualiser le comportement de la suite des sommes partielles on trouve ceci (ici $t=1$) :


Ce qui n'a pas l'air très convergent selon moi... on notera que l'axe des abscisses suit une échelle logarithmique.

Le code octave utilisé est le suivant, pour ceux qui voudraient tester.

n=100000;
S=0;
t=1;

for k=1:n
  S=[S,S(k)+sin(t*log(k))/k];
endfor

semilogx(S)

Salut gerard0,

Merci pour l'info, ça explique pourquoi une recherche du terme "convergence implosive" sur google renvoie à des messages de Jean Lismonde plutôt qu'à des pages wikipédia (:D

Au passage, pour ceux que ça intéresse, à cause du logarithme je pense que la suite des sommes partielles n'est même pas Cesàro-convergente.