Choix de l'argument dans $\C$
$\require{cancel}$Bonjour
J'étais en train de lire dans un livre, et je ne comprends pas pourquoi il choisit les arguments de la fonction fractionnelle de la sorte.
Soit $w \in \cancel{\C} \R, \ 0<w<1$ et considérons $\Psi$ définie pour $|z|<w^{-1},\ z\notin[0,w^{-1}[$ par
$$\Psi(z)=\frac{z^{\varepsilon+\mu} (1-wz)^\varepsilon}{(w-z)^\varepsilon},
$$ avec $0<\varepsilon<w<1,\ \mu\in\R$ avec
$$\arg (z) \in\,]0,2 \pi[, \qquad \arg (w-z) \in\,]-\pi, \pi[, \qquad \arg (1-w z) \in\,]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}[.
$$ Je sais que pour que $z^a$ soit holomorphe il faut enlever une demi-droite du plan complexe.
Comme ici $ z\notin[0,w^{-1}[$ donc il est naturel pour $\arg(z)$ de le prendre dans $\C \setminus \R_+$.
Pour le deuxième, on doit avoir $w-z \notin\, ]w-w^{-1},w[$, donc le choix de $\C\setminus \R_-$ me paraît cohérent.
Mais pour $\arg (1-w z)$, on doit avoir $1-wz\notin[0,1[$, je ne comprends pas pourquoi il enlève tout un demi-plan ?
Merci d'avance !
J'étais en train de lire dans un livre, et je ne comprends pas pourquoi il choisit les arguments de la fonction fractionnelle de la sorte.
Soit $w \in \cancel{\C} \R, \ 0<w<1$ et considérons $\Psi$ définie pour $|z|<w^{-1},\ z\notin[0,w^{-1}[$ par
$$\Psi(z)=\frac{z^{\varepsilon+\mu} (1-wz)^\varepsilon}{(w-z)^\varepsilon},
$$ avec $0<\varepsilon<w<1,\ \mu\in\R$ avec
$$\arg (z) \in\,]0,2 \pi[, \qquad \arg (w-z) \in\,]-\pi, \pi[, \qquad \arg (1-w z) \in\,]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}[.
$$ Je sais que pour que $z^a$ soit holomorphe il faut enlever une demi-droite du plan complexe.
Comme ici $ z\notin[0,w^{-1}[$ donc il est naturel pour $\arg(z)$ de le prendre dans $\C \setminus \R_+$.
Pour le deuxième, on doit avoir $w-z \notin\, ]w-w^{-1},w[$, donc le choix de $\C\setminus \R_-$ me paraît cohérent.
Mais pour $\arg (1-w z)$, on doit avoir $1-wz\notin[0,1[$, je ne comprends pas pourquoi il enlève tout un demi-plan ?
Merci d'avance !
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Réponses
Les conditions sur $z$ et $w$ font que $1-wz$ a une partie réelle positive, non ?
Cependant, la condition $|z|<w^{-1}$ n'a pas de sens pour $w$ complexe.
Cordialement.
[Voilà qui est fait. ;-) AD]
Enfin, si on définit encore $z^{\alpha}$ par $z^{\alpha}= \exp(\alpha \ln z)$.
Cordialement.
Même question, mais cette fois-ci on a $w\in\C,\ 0<|w|<1$. Comment je dois choisir l'argument si j'ai $$ \Psi(z)=\frac{1}{(z-\overline{w}).z^{\frac{|w|^2}{1-|w|^2}}}\ ?$$
Est-ce que c'est correct de prendre
Si $\frac{1}{2}<|w|^2<1,\ \arg(z)\in \left]\arg(\overline w),\arg(\overline w)+2\pi\right[ $ ?
Et si $0<|w|^2<\frac{1}{2},\ \arg(z)\in \left]\arg(\overline w),\arg(\overline w)+\frac{2\pi|w|^2}{1-|w|^2}\right[$ ?
Après, c'est toi qui choisis un domaine d'holomorphie utile.
Comme les fonctions "puissance complexe" sont toujours mal définies, il n'y a pas de "bonne réponse".
Cordialement.