Sorte d'uniforme continuité sur intégrale
Soit $K : I\times I\rightarrow \mathbb{R}$ un noyau scalaire tel que : $s \mapsto K(t, s)$ est intégrable et $t \mapsto K(t, s)$ est continu.
Mon but est de prouver que (si c'est vrai) :
\begin{array}{c}\text { Pour chaque } \epsilon>0 \text {, il existe } \delta>0 \text { tel que, pour tout } t_{1}, t_{2} \in I, \text { si }\left |t_{1}-t_{2}\right|<\delta \text { alors}\\
\int_{t_1}^{t_2} K(t_2,s) d s< \epsilon.
\end{array} Le problème c'est que, ce qui est à l'intérieur de l'intégrale (le $K$ ) dépend de $t_2$ qui est censé être non fixé ..
Merci d'avance pour l'aide.
Edit: J'ai oblié de préciser que $I=[0,1]$
Mon but est de prouver que (si c'est vrai) :
\begin{array}{c}\text { Pour chaque } \epsilon>0 \text {, il existe } \delta>0 \text { tel que, pour tout } t_{1}, t_{2} \in I, \text { si }\left |t_{1}-t_{2}\right|<\delta \text { alors}\\
\int_{t_1}^{t_2} K(t_2,s) d s< \epsilon.
\end{array} Le problème c'est que, ce qui est à l'intérieur de l'intégrale (le $K$ ) dépend de $t_2$ qui est censé être non fixé ..
Merci d'avance pour l'aide.
Edit: J'ai oblié de préciser que $I=[0,1]$
Réponses
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Qu'appelles tu noyau exactement ?
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$K$. C'est juste une notation; "scalar kernel" en anglais.
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Je croyais qu'il y avait des hypothèses type "fonction de Green" ou autres ...
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J'ai l'impression que c'est faux : $I=\R^+$, $K(t,s)=e^{t^2} e^{-s}$.
Autorisant les inégalités larges, j'ai tout de même l'impression qu'en prenant $t_2=t_1+\delta$ puis en faisant tendre $t_1$ vers $+\infty$, ça explose largement. -
Peut-être y a pas de $t_2$ dans la fonction $K$ sous l’intégrale, et $t$ dans un compact
$\int_{t_1}^{t_2} K(t,s) d s$
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