Opérateur compact
Bonjour
J'ai entendu quelqu'un dire que si on a un opérateur défini par $$u\in L^2\to (\psi_n u)_n\in \ell^2,
$$ avec $\psi_n\to 0$ dans $\C,$ alors cet opérateur est compact. Quelqu'un peut m'expliquer pourquoi ?
L'intuition que j'ai, c'est peut-être parce qu'il va s'écrire comme limite d'opérateur de rang fini, mais je ne suis pas sûr si c'est ça ?
Par ailleurs, si on avait que la suite $(\psi_n)_n$ est juste dans $\ell^\infty$ dans ce cas on n'a pas nécessairement que l'opérateur est compact, n'est-ce pas ?
Merci d'avance !
J'ai entendu quelqu'un dire que si on a un opérateur défini par $$u\in L^2\to (\psi_n u)_n\in \ell^2,
$$ avec $\psi_n\to 0$ dans $\C,$ alors cet opérateur est compact. Quelqu'un peut m'expliquer pourquoi ?
L'intuition que j'ai, c'est peut-être parce qu'il va s'écrire comme limite d'opérateur de rang fini, mais je ne suis pas sûr si c'est ça ?
Par ailleurs, si on avait que la suite $(\psi_n)_n$ est juste dans $\ell^\infty$ dans ce cas on n'a pas nécessairement que l'opérateur est compact, n'est-ce pas ?
Merci d'avance !
Réponses
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Si tu as l'intuition qu'il est de rang fini, essaie de l'écrire non ? Comment il se décomposerait ? Vois ensuite si ça change quelque chose dans le raisonnement que l'image soit seulement l^inf (mais être de rang fini étant une propriété algébrique indépendamment de la norme j'y vois peu de chance).
-
Si on note $T$ cet opérateur, $T$ sera limite des opérateurs $T_N$ définis par $T_N =(\psi_1 u, \ldots, \psi_N u,0, \ldots)$, en effet
$$\|T-T_N\|_{\ell^2}=\sum_{n\geq N}|\psi_n u|^2$$
et cette somme converge vers zéro quand $N$ tend vers l'infini dans les deux cas même si la suite $(\psi_n)_n$ est dans $\ell^\infty$. -
Je ne suis pas sûr de bien comprendre comment est défini ton opérateur.
Quelle est la nature de l'objet $u$ ? -
Oui, vous avez raison il y a quelque chose qui ne va pas dans ma définition d'opérateur...
-
J'imagine que c'est plutôt
\[
T : u \mapsto (\psi_n u_n)_n,
\] où $u_n = \langle e_n \mid u \rangle$ avec $(e_n)_n$ une base hilbertienne de $L^2$. Tu calcules mal la norme de l'opérateur $ T-T_N$ dans ton deuxième message, ce que tu calcules est en fait la norme de la suite $(T-T_N)(u)$, ce qui n'est pas la même chose. Ton opérateur ne sera pas compact si la suite $(\psi_n)_n$ ne tend pas vers $0$.
AD : merci de ne pas mettre de corrections en gras dans un message qui en contient déjà, ça rajoute plus de confusion que ça n'en enlève... -
Merci beaucoup !
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