Bonjour
$0<x_0<1,\ x_{n+1} = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}|x_n - \frac{1}{2}|,$ pour $n\geq 0.$
On remarque pour tout $n\geq 0,\ 0 < x_n <1.$
Déterminer le segment de plus petite longueur $[a;b]$ inclus dans $[0;1]$ tel que pour tout $n\geq 0 , \ x_n \in [a;b].$
Merci.
Réponses
Pour la borne $0$ elle découle en prenant $x_0\to 0$.
Pour la borne supérieur, il suffit de voir deux cas
Cas 1 $ \quad$ $0<x_0=e\le 0.5$ on remarque que la suite est strictement croissante et la croissance à chaque étape (recursivement) dépend de la valeur ou magnitude de $x_0$. Plus $x_0$ est grande plus la différence $x_{n+1}-x_n$ est grande (et vice versa). Ceci est vrai jusqu'à $x_n$ dépasse $0.5$. (La suite ressemble à une suite géométrique de raison $\frac{3}{2}$ multiplié par $e=x_0$)
Cas 2 $\quad$ $x_{j-1}=0.5-k$ et $x_j=0.5+h\ge 0.5$ pour un certain $j$. $$x_j=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}k$$ et $k\le\frac{1}{6}$.
Dans la suite $x_{j+1}=3/4-3/2h$, $h$ peut être très petit en adjustant $e$ vers $0$. D'ou la borne supérieur.
Pour finir si $x_{j+1}=3/4-3/2h\ge 0.5$, $x_{j+2}=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}(0.25-\frac{3}{2}h)\le 0.75$.
Et ainsi on revient au cas 1 si $x_{j+2}\le 0.5$ et à $x_{j+1}$ si $x_{j+2}\ge 0.5$.
Edit
Je n'ai pas mis le cas $x_0=e\in [0.5,1[$ mais ça devrait aller dans la même demarche que la longueur minimale de l'intervalle $[a,b]$ est 0.75..
Si j'ai bien compris la question est pour n'importe quelle $x_0$ choisis quelle est le segment de longueur minimale tel que etc je vais éditer.
Du coup si $x_0=e\in[0.5,1[$ avec $e=0.5+k$, $0\le k<0.5$, $$x_1=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}k$$ qu'on peut approcher de $ 0$ quand $k\to 0.5$. Soit $x_0\to 1$ et $x_1\to 0$ donc la longueur de l'intervalle est $1$?
Edit
Ou bien la question suivante: choisir $x_0$ pour que $x_n\in [a,b]$ pour tout $n\ge 0$ et $[a,b]$ de longueur minimale. Ce qui est résolu par Rieman-lapins cretins avec la suite stationnaire $x_0=3/5$.
Cordialement.